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Probabilités totales
Soient $A_1$, $A_2$,...$A_n$ des événements de l'univers $\Omega$ tels que $p(A_1)\neq 0$, $p(A_2)\neq 0$...$p(A_n)\neq 0$ et $B$ un événements.
Si $A_1$, $A_2$,...$A_n$ sont deux à deux disjoints et que leur réunion forme l'univers $\Omega$ alors $A_1$, $A_2$...$A_n$ forment une partition de $\Omega$
et on a $p(B)=p(A_1\cap B)+p(A_2\cap B)+...+p(A_n\cap B)$}
$A$ et $\overline{A}$ forment une partition de l'univers et on a $p(B)=p(A\cap B)+p(\overline{A}\cap B)$

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Probabilité conditionnelle
Soient $A$ et $B$ deux événements avec $p(A)\neq 0$.
La probabilité que l'événement $B$ soit réalisé sachant que l'événement $B$ est réalisé se note $p_A(B)$
et on a $p_A(B)=\dfrac{p(A\cap B)}{p(A)}$.

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Espérance de la loi binomiale
On considère la variable aléatoire $X$ suivant une loi binomiale de paramètres $n$ (nombre d'épreuves de Bernoulli indépendantes répétées) et $p$ (probabilité de l'événement $S$), on a alors: $E(X)=np$

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En prenant $n=1$ dans $u_{n+1} = 2 + 0,8u_n$, on a:
$u_2 = 2 + 0,8u_1 = 2 + 0,8 \times 2 = 2 + 1,6 = 3,6$.
$u_2=3,6$ donc après deux prises du médicament, le patient a 3,6 mL de médicament dans son organisme.

Raisonnement par récurrence
On considère une propriété notée $P_n$ avec $n \in \mathbb{N}$.

• $P_0$ vraie
• Si $P_n$ est vraie alors $P_{n+1}$ est vraie.
• On a alors $P_n$ vraie pour tout entier naturel $n$.

Vérifier que la propriété $P_n$: $u_n = 10 - 8\times 0,8^{n-1}$ est vraie au rang $n=1$
Montrer que si $P_n$ est vraie alors $P_{n+1}$ est vraie soit $u_{n+1} = 10 - 8\times 0,8^{n}$

Pour tout entier naturel non nul $n$, on pose $P_n$: $u_n = 10 - 8\times 0,8^{n-1}$
- Initialisation
$P_1$: $u_1 = 10 - 8\times 0,8^{1-1}=10-8\times 1=2$
or $u_1 = 2$, d'après l'énoncé.
donc $P_1$ est vérifiée
- Hérédité
Pour $n$ entier naturel non nul, on suppose l'affirmation $P_n $ vraie, soit $u_n = 10 - 8\times 0,8^{n-1}$.
On veut montrer que l'affirmation $ P_{n+1} $ est vraie soit $u_{n+1}=10-8\times 0,8^{n+1-1}=10-8\times 0,8^{n}$.
$u_{n+1}= 2 + 0,8u_n$ (énoncé)
$~~~~~~~~= 2 + 0,8 \left(10 - 8\times 0,8^{n-1}\right)$ par hypothèse de récurrence
$~~~~~~~~= 2 + 0,8 \times 10 - 0,8 \times 8\times 0,8^{n-1}$
$~~~~~~~~= 2 + 8 - 8\times 0,8^1 \times 0,8^{n-1}$
$~~~~~~~~= 10 - 8\times 0,8^{n-1+1}$
$~~~~~~~~= 10 - 8\times 0,8^{n}$
donc $ P_{n+1}$ est vérifiée
On a donc montré par récurrence sur $n$ que $u_n = 10 - 8 \times 0,8^{n-1}$ pour tout entier naturel $n$ strictement positif.

Limite de $q^n$ (suite géométrique)
Si $q > 1 $ alors $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty}q^n=+\infty$
Si $-1 < q < 1 $ alors $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty}q^n=0$

Déterminer d'abord la limite de $0,8^{n-1}$

$-1 < 0,8 < 1$ donc $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} 0,8^{n-1} =0$
et par produit $ \displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} - 8\times 0,8^{n-1} = 0$.
puis par somme des limites $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} u_n = 10 + 0 = 10$.
donc $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} u_n = 10$.
Ceci signifie qu'après un très grand nombre de prises de ce médicament, l'organisme du patient contiendra une quantité de médicament proche de 10 mL.

On a $8\times 0,8^{n-1} >0$

Pour tout entier naturel $n\geq 1$:
$8\times 0,8^{n-1} >0$ donc $-8\times 0,8^{n-1} <0$
donc $10-8\times 0,8^{n-1} <10+0$
donc $u_n < 10$ pour tout entier naturel $n$ strictement positif.
donc $u_N \geqslant 10$ n'admet pas de solution
donc la quantité de médicament dans l'organisme de l'individu qui est toujours strictement inférieure à 10 mL, quel que soit le nombre de prises du médicament.

Il faut isoler $0,8^{n-1}$ et utiliser $ln$ puisque $ln\left(0,8^{n-1}\right)=(n-1)ln(0,8)$

$~~~~~~u_n > 9$
$\Longleftrightarrow 10 - 8 \times 0,8^{n-1} > 9$
$\Longleftrightarrow - 8 \times 0,8^{n-1} > -1$
$\Longleftrightarrow 8 \times 0,8^{n-1} < 1$
$\Longleftrightarrow 0,8^{n-1} < \dfrac{1}{8}$
$\Longleftrightarrow ln\left(0,8^{n-1}\right) < ln\left(\dfrac{1}{8}\right)$
$\Longleftrightarrow (n-1)ln\left(0,8\right) < ln\left(\dfrac{1}{8}\right)$
$\Longleftrightarrow n-1> \dfrac{ln\left(\dfrac{1}{8}\right)}{ln\left(0,8\right) }$ L'inégalité change de sens puisque $ln(0,8)<0$
$\Longleftrightarrow n> 1+\dfrac{ln\left(\dfrac{1}{8}\right)}{ln\left(0,8\right) }$
$\Longleftrightarrow n> 1-\dfrac{ln\left(8\right)}{ln\left(0,8\right) }$ (rappel: $ln\left(\dfrac{1}{8}\right)=ln(1)-ln(8)=-ln(8)$)
Or $1 - \dfrac{\ln(8)}{\ln(0,8)} \approx 10,3$ et $n$ entier naturel donc $n\geq 11$
donc à partir de 11 prises du médicament, la quantité dans l'organisme du patient dépasse strictement les 9ml.

On a $S_2 = \dfrac{u_1 + u_2}{2} = \dfrac{2 + 3,6}{2} = 2,8$.
donc $S_2=2,8$

Somme des termes d'une suite géométrique
La somme $S$ des termes consécutifs d'une suite géométrique de raison $q\neq 1$ est donnée par:
$S=u_0 \dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}$
Mémo: $S=$premier terme $ \dfrac{1-q^{\text{nombre de termes}}}{1-q}$

On a $u_n = 10 - 8 \times 0,8^{n-1}$ et on peut utiliser la somme des termes de la suite géométrique de premier terme $8$ et raison $q=0,8$

Pour tout entier naturel $n$ strictement positif on a $u_n = 10 - 8 \times 0,8^{n-1}$
$~~~~u_1 + u_2 + ... + u_n$
$=10 - 8\times 0,8^{0} + 10 - 8\times 0,8^{1} + ... + 10 - 8\times 0,8^{n-1}$ On a $n$ fois 10 dans cette somme
$=10n - \left(8\times 0,8^{0} + 8\times 0,8^{1} + ... + 8\times 0,8^{n-1}\right)$
Si on pose $(w_n)$ la suite géométrique de premier terme $w_1=8$ et de raison $q=0,8$, on a $w_n=8\times 0,8^{n-1}$
$w_1+w_2+...+w_n$
$=8\times 0,8^{0}+ 8\times 0,8^{1} + ... + 8\times 0,8^{n-1}$
$=8\times \dfrac{1-0,8^n}{1-0,8}$
$=8\times \dfrac{1-0,8^n}{0,2}$
$=40 \times (1-0,8^n)$
On a donc:
$~~~~u_1 + u_2 + ... + u_n$
$=10n - 40 \times (1-0,8^n)$
$=10n - 40 +40\times 0,8^n$
donc $u_1 + u_2 + ... + u_n=10n - 40 +40\times 0,8^n$

Exprimer $S_n$ en fonction de $n$
On cherche d'abord la limite $40\times 0,8^n$

$S_n=\dfrac{u_1 + u_2 + ... + u_n}{n}$
$~~~~~~=\dfrac{10n - 40 +40\times 0,8^n}{n}$
$~~~~~~=10 - \dfrac{40}{n} +\dfrac{40\times 0,8^n}{n}$
$\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} \dfrac{40}{n}=0$
$\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} 40\times 0,8^n=0$
et $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} n=+\infty$
donc par quotient on a $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} \dfrac{40\times 0,8^n}{n}=0$
Par somme des limites, on a donc $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} S_n=10$
La quantité moyenne de médicament présente dans l'organisme du patient tend elle aussi vers 10 ml.

rappel $0,8$**n$ signifie $0,8^n$

La fonction mystère est une fonction de seuil : elle détermine l'indice seuil pour lequel la valeur de $S_n$ franchit le seuil $k$ pour la première fois.
Autrement dit, la boucle WHILE s'exécute tants que $S_n mystere(9) renvoie donc le premier nombre entier naturel non nul $n$ pour lequel la quantité moyenne de médicament dans l'organisme du patient depuis le début de la prise devient supérieure ou égale à 9 ml.

Utiliser un résultat de la partie A

D'après la fin de la partie A, on a trouvé que la quantité dans le corps du patient dépasse les 9 ml à partir de la 11ième prise donc cette valeur est donc strictement supérieure à 10,
donc pour $n < 11$, les valeurs de la suite $(u_n)$ sont donc toutes inférieures strictement à 9, et donc leur moyenne le sera aussi.
donc $S_n < 9$ pour tout entier naturel non nul $n$ inférieur ou égal à 10.
La fonction mystère doit donc renvoyer un indice strictement supérieur à 10.

Remarque
Avec le MENU suite de la calculatrice, on a $S_{39} \approx 8,974$ et $S_{40} \approx \np{9,0001}$