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Sujet prévisionnel BAC spé maths première

Ceci est le sujet 0 prévisionnel pour l’année 2026 permettant de fixer un cadre sur les sujets qui peuvent être donnés pour la première session de BAC en première.

Peu de questions vraiment difficiles pour un élève qui connâit bien le cours et ses applications de base.

Le QCM (8 questions sans justification) porte sur les programmes de seconde et de première.

L’exercice 2 porte sur la géométrie dans un repère avec produit scalaire et équation d’un cercle.

L’exercice 3 porte sur les suites.

Télécharger l’énoncé Télécharger l’énoncé avec le corrrigé

QCM

Second degré
Fonctions
Droites
Moyenne

Chapitre produit scalaire

Calcul des coordonnées d’un vecteur et de distances
Produit scalaire dans un repère et avec le projeté orthogonal
Équation d’un cercle

Chapitre fonction et suites

Signe d’un polynôme de degré 2
Suite arithmétique
Dérivée et tableau de variation d’une fonction

Vidéo ex 1

Aucune justification n'est demandée et une seule réponse est possible par question.
Pour chaque question, reportez son numéro sur votre copie et indiquez votre réponse.

L'inverse du double de 5 est égal à :
a. $\dfrac 25~~~~~~~~$ b. $\dfrac{1}{10}~~~~~~~~$ c. $\dfrac 52~~~~~~~~$ d. 10

Aide

il faut d'abord calculer le double de 5

Solution

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INSCRIPTION
On considère la relation $F = a + \dfrac{b}{cd}$
Lorsque $a = \dfrac{1}{2}$, $b= 3$, $c = 4$, et $ d = - \dfrac{1}{4}$, la valeur de $F$ est égale à :
a. $- \dfrac{5}{2}~~~~~~~~$b. $- \dfrac{3}{2}~~~~~~~~$ c. $\dfrac{5}{2}~~~~~~~~$ d. $\dfrac{3}{2}$

Aide

On veut additionner $\dfrac{5}{2}}$ et $\dfrac{3}{4\times \dfrac{-1}{4}}$

Solution

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INSCRIPTION
Le prix d'un article est multiplié par 0,975.
Cela signifie que le prix de cet article a connu :
a. une baisse de $2,5$% $~~~~~~~~$b. une augmentation de $97,5$%$~~~~~~~~$
c. une baisse de 25%$~~~~~~~~$d. une augmentation de $0,975$%

Rappel cours

Coefficient multiplicateur
Une quantité $V_i$ à laquelle on applique un taux d'évolution $t$ est multipliée par $k=1+t$.
Rappel: $t=\dfrac{V_f-V_i}{V_i}$

Solution

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INSCRIPTION
Le prix d'un article est noté $P$ avec $P \neq 0$.
Ce prix augmente de 10% puis baisse de 10%.
À l'issue de ces deux variations, le nouveau prix est noté $P_1$. On peut affirmer que:
a. $P_1 = P~~~~~~~~$b. $P_1 > P~~~~~~~~$c. $P_1 < P~~~~~~~~$d. Cela dépend de $P$

Rappel cours

Appliquer une variation de $t$% revient à appliquer le coeffcient multiplicateur $1+\dfrac{t}{100}$

Aide

Utiliser les coefficients multiplicateurs liés aux deux évolutions

Solution

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INSCRIPTION
On lance un dé à 4 faces.
La probabilité d'obtenir chacune des faces est donnée dans le tableau ci-dessous :
\begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline Face numéro 1 &Face numéro 2& Face numéro 3& Face numéro 4\\ \hline $0,5$ &$\dfrac{1}{6}$&$0,2$& $x$\rule[-10pt]{0pt}{28pt}\\ \hline \end{tabularx} \end{center}
On peut affirmer que :
a. $x = \dfrac{2}{15}~~~~~~$b. $x = \dfrac{2}{3}~~~~~~$c. $x = 0,4~~~~~~$d. $x = 0,1$

Aide

La somme des probabilités est égale à 1

Solution

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INSCRIPTION
On considère $x$, $y$, $u$ des réels non nuls tels que $\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{u}$.
On peut affirmer que :
a. $u = \dfrac{xy}{x + y}~~~~~~$b. $u = \dfrac{x + y}{xy}~~~~~~$ c. $u = xy~~~~~~$d. $u = x + y$

Aide

Il faut d'abord écrire le membre de gauche sous la forme d'une seule fraction

Solution

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INSCRIPTION
On a représenté ci-dessous la parabole d'équation $y = x^2$.

On note $(\mathcal{J})$ l'inéquation, sur $\mathbb{R}$: $x^2 \geq 10$.
L'inéquation $(\mathcal{J})$ est équivalente à :
a. $- \sqrt{10} \leq x \leq \sqrt{10}~~~~~~$b. $x \leq - \sqrt{10}$ ou $x \geq \sqrt{10}~~~~~~$c. $x \geq \sqrt{10}~~~~~~$d. $x = \sqrt{10}$ ou $x = - \sqrt{10}$

Aide

Graphiquement on veut les abscisses des points de la courbe dont l'ordonnée est supérieure ou égale à 10
Par le calcul, on a $x^2-10=(x-\sqrt{10})(x+\sqrt{10}$ et on peut dresser le tableau de signes de $x^2-10$

Solution

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INSCRIPTION
On a représenté ci-dessous une droite $\mathcal{D}$ dans un repère orthonormé.

Une équation de la droite $\mathcal{D}$ est:
a. $y = - \dfrac{3}{2} x + 2~~~~~~$b. $y = \dfrac{2}{3} x + 2~~~~~~$c. $2x - 3y - 6 = 0~~~~~~$d. $\dfrac{x}{3} + \dfrac{y}{2} - 1 = 0$

Aide

On peut chercher quelle équation est vérifiée par les coordonnées des points $A(0,2)$ et $B(3;0)$
Solution

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INSCRIPTION
On considère trois fonctions définies sur $\mathbb{R}$ :
$f_1$ : $x \longmapsto x^2 - (1 - x)^2$, $f_2$ : $x \longmapsto \dfrac {x}{2} - \left(1 + \dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)$, $f_3$ : $x \longmapsto \dfrac{5 - \frac{2}{3} x}{0,7}$
Parmi ces trois fonctions, celles qui sont des fonctions affines sont:
a.aucune $~~~~$b. toutes$~~~$c. uniquement la fonction $f_1~~~$ d. uniquement les fonction $f_2$ et $f_3$

Aide

Rappel, une fonction affine s'écrit sous la forme $f(x)=ax+b$ avec $a$ et $b$ réels

Solution

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On a représenté ci-dessous une parabole $\mathcal{P}$.

Une seule des quatre fonctions ci-dessous est susceptible d'être représentée par la parabole $\mathcal{P}$.
Laquelle ?
a. $x \longmapsto x^2 - 10~~~~~~$ b. $x\longmapsto -x^2 - 10~~~~~~$c.$x\longmapsto -x^2 + 10~~~~~~$ d. $x\longmapsto -x^2 + 10x$

Solution

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INSCRIPTION
On a représenté ci-dessous la courbe $\mathcal{C}$ d'une fonction $f$.

Les points A, B, R et S appartiennent à la courbe $\mathcal{C}$.
Leurs abscisses sont notées respectivement $x_{A}$, $x_{B}$, $ x_{R}$ et $x_{S}$.
L'inéquation $x \times f(x) > 0$ est vérifiée par :
a. $x_{A}$ et $x_{B}~~~~~~$ b. $x_{A}$ et $x_{R}~~~~~~$ c.$x_{A}$ et $x_{S}~~~~~~$ d. $x_{A}$, $x_{B}$ et $x_{S}$

Aide

On détermine le signe de $xf(x)$ pour les quatre points

Solution

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Voici une série de notes avec les coefficients associés.

On note $m$ la moyenne de cette série.
Que doit valoir $x$ pour que $m = 15$ ?
a. impossible$~~~~~$b. $x = 10^{-3}~~~~~$c. $x = 3~~~~~$ d. $x = 19$

Solution

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Vidéo ex 2

On considère la figure suivante, représentée dans un repère orthonormé $(O;\overrightarrow{i};\overrightarrow{j})$.
ex bac spé maths première produit scalaire et cercles

ex bac spé maths première produit scalaire et cercles

On dispose des données suivantes:
\begin{dg}

Le quadrilatère $OABC$ est un carré de côté 4 ;

On a $A(4~;~0)$, $B(4~;~4)$, $C(0~;~4)$, $I(4~;~3)$ ;

Le point $H$ est le projeté orthogonal du point $C$ sur la droite $(OI)$ ;

On note $\mathcal{E}$ le cercle de centre $D(2~;~2)$ et de rayon $0,5$. \end{dg}

1. Déterminer les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{OI}$ et $\overrightarrow{OC}$.
  
  Rappel cours
  
  Coordonnées d'un vecteur défini par deux points
  Si $A(x_A;y_A)$ et $B(x_B;y_B)$ alors $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix }x_B-x_A\\y_B-y_A\end{pmatrix}$ (coordonnées du second point $-$ coordonnées du premier point)
  
  Solution
  
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2. En déduire le produit scalaire $\overrightarrow{OI}.\overrightarrow{OC}$.
  
  Rappel cours
  
  Produit scalaire dans un repère orthonormé
  Dans un repère orthonormé, si $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{v}\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}$ on a:
  $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=xx'+yy'$
  
  Solution
  
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  INSCRIPTION
1. Exprimer le produit scalaire $\overrightarrow{OI} . \overrightarrow{OC}$ en fonction des longueurs $OH$ et $OI$.
  
  Rappel cours
  
  Produit scalaire et projeté orthogonal
  Soit $A$, $B$ et $C$ trois points ($A$ et $B$ distincts) et $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{AC}$.
  Si $H$ est le projeté orthogonal de $C$ sur $(AB)$:
  $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=AB\times AH$ si $\widehat{BAH}=0$ (soit $\widehat{BAC}$ aigu)
  et $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=-AB\times AH$ si $\widehat{BAH}=\pi$ (soit $\widehat{BAC}$ obtus)
  
  Aide
  
  $H$ est le projeté orthogonal de $C$ sur $(OI)$
  
  Solution
  
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2. Calculer la longueur $OI$.
  
  Rappel cours
  
  Distance dans un repère
  Dans un repère orthonormé du plan, on a $A(x_A;y_A)$ et $B(x_B;y_B)$,
  $AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$
  Si $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$ alors $||\overrightarrow{u}||=\sqrt{x^2+y^2}$
  
  Solution
  
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3. En déduire que $OH = 2,4$.
  
  Aide
  
  On a $\overrightarrow{OI} . \overrightarrow{OC}=OI\times OH=12$
  
  Solution
  
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1. Déterminer une équation cartésienne de la droite $(CH)$.
  
  Aide
  
  Le vecteur $\overrightarrow{OI}$ est un vecteur normal à la droite $(CH)$
  
  Solution
  
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2. Justifier qu'une équation du cercle $\mathcal{E}$ est: $x^2 + y^2 - 4x - 4y + 7,75 = 0$.
  
  Rappel cours
  
  Équation d'un cercle
  Dans un repère orthonormé, le cercle de centre $C(x_C;y_C)$ et de rayon $r$ a pour équation $(x-x_C)^2+(y-y_C)^2=r^2$
  
  Solution
  
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3. Le point $M(1,5~;~2)$ appartient-il à l'intersection du cercle $\mathcal{E}$ et de la droite $(CH)$ ? Justifier.
  
  Aide
  
  Il faut vérifier que le point $M$ appartient bien à $(CH)$ et au cercle $\mathcal{E}$
  
  Solution
  
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Vidéo ex 3

On se place dans un repère $(O;\overrightarrow{i};\overrightarrow{j})$ orthogonal.

On considère la fonction $g$ définie pour tout réel $x$ par $g(x) = x^2 - 5x + 4$.
On note $\mathcal{P}$ la courbe représentative de la fonction $g$.
1. Étudier le signe de la fonction $g$ sur $\mathbb{R}$.
  
  Rappel cours
  
  Signe de $ax^2+bx+c$
  - Cas $\Delta>0$ (deux racines $x_1$ et $x_2$
  
  - Cas $\Delta=0$ (une racine $x_1$)
  
  - Cas $\Delta<0$ (aucune racine)
  
  Signe de $ax^2+bx+c$
  - Cas $\Delta>0$ (deux racines $x_1$ et $x_2$
  
  - Cas $\Delta=0$ (une racine $x_1$)
  
  - Cas $\Delta<0$ (aucune racine)
  
  Solution
  
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2. On considère un entier naturel $n$ quelconque.
  On note $A_n$ le point de la courbe $\mathcal{P}$ d'abscisse $n$.
  On note $a_n$ le coefficient directeur de la droite $(A_nA_{n+1})$.
  Justifier que pour tout entier naturel $n$, on a $a_n = 2n - 4$.
  
  Rappel cours
  
  Coefficient directeur d'une droite
  Le coefficient directeur de la droite $(AB)$ avec $A(x_A;y_A)$ et $B(x_B;y_B)$ est $a=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\dfrac{\text{variation des ordonnées}}{\text{variation des abscisses}}$
  
  Solution
  
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3. Quelle est la nature de la suite $(a_n)$ ?
  
  Rappel cours
  
  Forme explicite d'une suite arithmétique
  Si $(u_n)$ est arithmétique de raison $r$ est premier terme $u_0$, on a:
  $u_n=u_0+nr$ et pour tous entiers $n$ et $p$, $u_n=u_p+(n-p)r$
  Attention, si le premier terme de la suite est $u_1$ par exemple, on a alors $u_n=u_1+(n-1)r$
  
  Solution
  
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On considère la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ de l'intervalle $[0,5~;~8]$ par
$f(x) = x - 5 + \dfrac{4}{ x}$
On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$.
1. Vérifier que pour tout réel $x$, de l'intervalle $[0,5~;~8]$ on a $f(x) =\dfrac{ g(x)}{x}$.
  
  Aide
  
  Écrire $f(x)$ sous forme d'un seule fraction
  
  Solution
  
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2. À l'aide de la question 1. a, déterminer la position de la courbe $\mathcal{C}$ par rapport à l'axe des abscisses.
  
  Aide
  
  Il faut étudier le signe de $f(x)$ soit de $\dfrac{g(x)}{x}$
  
  Solution
  
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3. On admet que la fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle $[0,5~;~8]$.
  Montrer que tout réel $x$ de l'intervalle $[0,5~;~8]$ on a :
  $f'(x) = \dfrac{(x - 2)(x + 2)}{x^2}$
  
  Rappel cours
  
  Dérivées usuelles
  
  Formules de dérivation (produit, quotient...)
  
  Solution
  
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4. En déduire le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0,5~;~8]$.
  
  Aide
  
  Sur $[0,5~;~8]$, on a $x^2 >0$ et $x+2 >0$ donc $f'(x)$ est du signe de $x-2$
  
  Solution
  
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5. Réaliser un schéma de l'allure de la courbe $\mathcal{C}$ sur lequel apparaîtront les résultats des questions 2.b et 2.d.
  
  Solution
  
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