Home TERMINALE SPÉCIALITÉ MATHS Chapitre 7 géométrie dans l'espace Séquence 2 repérage dans l'espace et équation paramétrique d'une droite

Alignement dans un repère de l’espace, vecteurs coplanaires (réf 1253)

Ressource précédente: Vecteurs colinéaires et alignement dans un repère de l’espace (réf 1254) Ressource suivante: Équation paramétrique d’une droite (réf 1255)

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Contenu

Vecteurs colinéaires et alignement dans un repère de l’espace

Vecteurs coplanaires

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Vidéo de l’exercice

L'espace est muni d'un repère $(O;\overrightarrow{i};\overrightarrow{j};\overrightarrow{k})$ et on donne les points $A(2;-3;1)$, $B(1;3;5)$ et $C(-1;3;-2)$.

Calculer les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB}$ puis du vecteur $\overrightarrow{AC}$.

Rappel cours

Coordonnées d'un vecteur dans l'espace
L'espace est muni d'un repère quelconque.
Soit $A(x_A;y_A;z_A)$ et $B(x_B;y_B;z_B)$
$\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} x_B-x_A\\ y_B-y_A\\ z_B-z_A \end{pmatrix} $

Solution

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Vérifier que les points $A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés.

Aide

$A$, $B$ et $C$ sont alignés si et seulement si les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires.

Solution

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Déterminer les coordonnées du point $M$ défini par la relation $\overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{AB}-3\overrightarrow{AC}$

Aide

On a donc $x_{\overrightarrow{AM}}=2x_{\overrightarrow{AB}}-3x_{\overrightarrow{AC}}$

Solution

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Que peut-on en déduire pour les points $A$, $B$, $C$ et $M$?

Rappel cours

vecteurs coplanaires
Trois vecteurs $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$ non nuls sont coplanaires si les points $A$, $B$, $C$ et $D$ définis par $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{AD} =\overrightarrow{w}$ sont dans un même plan.

Solution

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On donne $N(5;y;z)$, déterminer les coordonnées de $N$ pour que $A$, $B$ et $N$ soient alignés.

Aide

Il faut que les vecteurs $\overrightarrow{AN}$ et $\overrightarrow{AB}$ soient colinéaires.

Solution

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