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Contenu
Pourcentages et suites géométriques
Algorithme de recherche d’un seuil
Ressources associées et exercices semblables
Justifier qu’une suite géométrique (réf 0916)
exercice
Application des suites géométriques (réf 0917)
exercice
Fiche méthode suites arithmétiques et géométriques (révisions première) (réf 0971)
méthode
Une étude sur cette population de singes a montré que leur nombre baisse de 15% chaque année.
Au premier janvier 2004, la population était estimée à $25~000$ singes.
A laide d'une suite, on modélise la population au premier janvier de chaque année. Pour tout entier naturel $n$, le terme $u_n$ de la suite représente le nombre de singes au premier janvier de l'année $2004+n$. On a ainsi $u_0=25~000$.
- Calculer l'effectif de cette population de singes :
- au premier janvier 2005.
Rappel cours
Coefficient multiplicateur
Une quantité $V_i$ à laquelle on applique un taux d'évolution $t$ est multipliée par $k=1+t$.
Rappel: $t=\dfrac{V_f-V_i}{V_i}$Aide
On applique le coefficient multiplicateur $1-\dfrac{15}{100}$ chaque année
Solution
La population diminue de 15 chaque année donc on applique le coefficient multiplicateur $1-\dfrac{15}{100}=1-0,15=0,85$.
$u_1=0,85\times u_0=0,85\times 25~000=21~250$
- au premier janvier 2006, en arrondissant à l'entier.
Solution
$u_2=0,85u_1=0,85\times 21~250\approx 18~062$
- au premier janvier 2005.
- Justifier que, pour tout entier naturel $n$, on a $u_n=25~000\times 0,85^n$.
Rappel cours
Suite géométrique
Une suite $(u_n)$ est géométrique s'il existe un réel $q$ tel que pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=u_n\times q$
$q$ est la raison de la suite.
Le quotient de deux termes consécutifs est égal à la raison soit $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=q$ Forme explicite d'une suite géométrique
Si $(u_n)$ est géométrique de raison $q$ est premier terme $u_0$, on a:
$u_n=u_0\times q^n$
et pour tous entiers $n$ et $p$, $u_n=u_p\times q^{n-p}$Aide
Il faut d'abord justifier que la suite est géométrique avant de donner sa forme explicite
Solution
Chaque année, le nombre de singes est multiplié par $0,85$
et on a donc $u_{n+1}=0,85u_n$
donc $(u_n)$ est une suite géométrique de premier terme $u_0=25~000$ et de raison $q=0,85$
donc $u_n=u_0\times q^n=25~000\times 0,85^n$
- Suivant ce modèle, on souhaite savoir, à laide d'un algorithme, au bout de combien d'années après le premier janvier 2004 le nombre de singes sera inférieur à $5~000$.
Recopier et compléter les lignes L4, L5 et L6 de l'algorithme ci-dessous.
Aide
U correspond aux termes successifs de la suite et $n$(compteur) aux indices successifs
Solution
Tant que le nombre de singes n'est pas inférieur à 6500, on continue à calculer le nombre de singes l'année suivante et le nombre d'années $n$ augmente de 1.
- Montrer que la suite $(u_n)$ est décroissante.
Rappel cours
Étude des variations(différence de deux termes consécutifs)
Pour étudier les variations de $(u_n)$, il faut comparer $u_{n+1}$ et $u_n$.
Exprimer $u_{n+1}-u_n$ en fonction de $n$
Étudier le signe de l'expression obtenue
Si $u_{n+1}-u_n >0 $ alors$u_{n+1} >u_n$ et donc la suite $(u_n)$ est croissante.
Si $u_{n+1}-u_n <0 $ alors$u_{n+1} < u_n$ et donc la suite $(u_n)$ est décroissante.Aide
On doit étudier le signe de $u_{n+1}-u_n$ en factorisant l'expression
On peut remplacer $u_{n+1}$ par $0,85u_n$ dans un premier tempsSolution
$u_{n+1}-u_n=0,85u_n-u_n$
$\phantom{u_{n+1}-u_n}=-0,15u_n$
$\phantom{u_{n+1}-u_n}=-0,15\times 25~000\times 0,85^{n}$
$\phantom{u_{n+1}-u_n}=-1484\times 0,85^n$
$0,85^n>0$ et donc $u_{n+1}-u_n < 0$
soit $u_{n+1} < u_n$
- Montrer que la valeur $n$ affichée après l'exécution de l'algorithme est 10.
Aide
On peut calculer $u_9$ et $u_{10}$ avec la forme explicite de la suite $(u_n)$
Solution
La suite $u_n$ est décroissante et on a $u_9=25~000\times 0,85^{9}\approx 5790$
et $u_{10}=25~000\times 0,85^{10}\approx 4922$
La boucle TANT QUE s'arrête quand la valeur de $U$ est inférieure à 5000
Remarque
Comme la suite est décroissante, pour tout entier naturel $n\geq 10$ on aura donc $u_n\leq u_{10}<5000$