Home TERMINALE SPÉCIALITÉ MATHS Chapitre 2 limites de fonctions et asymptotes séquence 5 exercices de synthèse et devoirs d'entraînement

Étude d’une fonction avec un paramètre et exponentielle (réf 1012)

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Contenu

Limites et asymptotes

Cas d’indétermination oo/oo

Dérivée de exp(u(x))

Étude des variations

Ressources associées et exercices semblables

Aide mémoire limites de fonctions (réf 1019)
mémo

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Vidéo de l’exercice

$n$ est un entier naturel et on définit la fonction $f_n$ sur $\mathbb{R}$ par $f_n(x)=\dfrac{e^{-nx}}{1+e^{-x}}$.
On note $\mathcal{C}_n$ sa représentation graphique dans un repère orthonormé.
On a représenté ci-dessous, les courbes $\mathcal{C}_0$, $\mathcal{C}_1$, $\mathcal{C}_2$ et $\mathcal{C}_3$.
fonction exponentielle

Montrer que les courbes $\mathcal{C}_n$ ont toutes un point commun.

Aide

Identifier l'abscisse $x_0$ du point commun sur le graphique et calculer $f_n(x_0)$

Solution

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Étude de $f_0$.
Déterminer les limites de la fonction $f_0$ en $+\infty$ et $-\infty$ et préciser les asymptotes éventuelles à la courbe $\mathcal{C}_0$.
Déterminer le sens de variation de $f_0$

Aide

$f_0(x)=\dfrac{e^{-0x}}{1+e^{-x}}=\dfrac{1}{1+e^{-x}}$
On peut remarquer quye $e^{-x}=.\dfrac{1}{e^x}$

Solution

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On étudie la fonction $f_n$ pour $n\geq 2$
Déterminer les limites de la fonction $f_n$ en $+\infty$ et $-\infty$ et préciser les asymptotes éventuelles à la courbe $\mathcal{C}_n$.

Rappel cours

Cas d'indétermination
$+\infty-\infty$
$0\times \pm \infty$
$\dfrac{\pm \infty}{\pm \infty}$
$\dfrac{0}{0}$
Attention, les écritures ci-dessus remplacent les limites mais sont incorrectes...

Aide

Utiliser la limite de la composée pour déterminer la limite de $e^{-nx}$
En $-\infty$, la limite du quotient est indéterminée, donc il faut écrire $e^{-nx}=\dfrac{1}{e^{nx}}$

Solution

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Étudier le sens de variation de $f_n$ pour $n\geq 2$

Rappel cours

Dérivée de $exp(x)$ et de $exp(kx)$
La fonction $exp$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $(exp(x))'=exp(x)$
La fonction $f$ définie par $f(x)=exp(kx)=e^{kx}$ avec $k$ réel est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $f'(x)=kexp(kx)=ke^{kx}$
Formules de dérivation (produit, quotient...)

Aide

On pose $u(x)=e^{-nx}$ et $v(x)=1+e^{-x}$
(e^{-nx})'=-ne^{-nx}$ et $(e^{-x})'=-e^{-x}$

Solution

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