Il faut remplacer $n$ par la valeur 0 pour calculer $u_1$ dans la relation donnée dans l'énoncé.

$u_{n+1}=\dfrac{u_n+2}{u_n^2+1}$ et en prenant $n=0$, on a:
$u_{0+1}=\dfrac{u_0+2}{u_0^2+1}$ et on donne $u_0=1$
donc $u_1=\dfrac{1+2}{1^2+1}=\dfrac{3}{2}$
$u_1=\dfrac{3}{2}$

$u_{n+1}=\dfrac{u_n+2}{u_n^2+1}$ et en prenant $n=1$, on a:
$u_{1+1}=\dfrac{u_1+2}{u_1^2+1}$ et on donne $u_1=\dfrac{3}{2}$
$u_2=\dfrac{\dfrac{3}{2}+2}{\left(\dfrac{3}{2}\right)^2+1}$
$\phantom{u_2}=\dfrac{\dfrac{3+4}{2}}{\dfrac{9}{4}+1}$
$\phantom{u_2}=\dfrac{\dfrac{7}{2}}{\dfrac{9+4}{4}}$
$\phantom{u_2}=\dfrac{\dfrac{7}{2}}{\dfrac{13}{4}}$
$\phantom{u_2}=\dfrac{7}{2}\times \dfrac{4}{13}$
$\phantom{u_2}=\dfrac{28}{26}$
$\phantom{u_2}=\dfrac{14}{13}$
$u_2=\dfrac{14}{13}$

Relation de récurrence
La suite $(u_n)$ est définie par récurrence si $u_{n+1}$ est exprimé en fonction des termes précédents.

Une suite est définie par récurrence si pour tout entier naturel $n$, pour calculer $u_n$ il faut calculer tous les termes précédents

Pour calculer $u_2$ par exemple, il fallait connaître $u_1$ et plus généralement, pour calculer $u_{n+1}$, il faut connaître $u_n$ ($u_n$ est le terme précédent $u_{n+1}$)
Pour calculer un terme de la suite, il faut connaître les précédents.
donc $(u_n)$ est définie par une relation de récurrence.

Il faut remplacer $n$ par $n-1$ dans la relation définissant $u_n$

$u_{n+1}=\dfrac{u_n+2}{u_n^2+1}$ et remplaçant $n$ par $n-1$, on a:
$u_{n-1+1}=\dfrac{u_{n-1}+2}{u_{n-1}^2+1}$
$u_{n}=\dfrac{u_{n-1}+2}{u_{n-1}^2+1}$