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Forme explicite d’une suite géométrique
Calculs de termes d’une suite géométrique
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Calcul des termes d’une suite géométrique (réf 0609)
exercice
Vidéo de l’exercice
- $u_{0}=3$ et $q=2$, calculer $u_{5}$ puis exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$ pour tout $n\in \mathbb{N}$ .
Rappel cours
Suite géométrique
Une suite $(u_n)$ est géométrique s'il existe un réel $q$ tel que pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=u_n\times q$
$q$ est la raison de la suite.
Le quotient de deux termes consécutifs est égal à la raison soit $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=q$
Forme explicite d'une suite géométrique
Si $(u_n)$ est géométrique de raison $q$ est premier terme $u_0$, on a:
$u_n=u_0\times q^n$
et pour tous entiers $n$ et $p$, $u_n=u_p\times q^{n-p}$Solution
$u_{0}=3$ et de raison $q=2$
donc $u_{n}=u_{0}q^n=3\times 2^n$
Pour $n=5$, on a:
$u_{5}=u_{0}q^5=3\times 2^5=96$
- $u_{1}=3$ et $q=-1$, calculer $u_{10}$ et $u_{11}$ puis exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$ définie pour tout $n\in \mathbb{N}^*$
Aide
exprimer $u_{10}$ en fonction de $u_1$
$u_{n}=u_1\times q^{n-1}$Solution
$(u_{n})$ est géométrique de premier terme $u_{1}=3$ et de raison $q=-1$
donc $u_{n}=u_{1}q^{n-1}=3\times (-1)^{n-1}$
Pour $n=10$, on a:
$u_{10}=3\times (-1)^9=-3$
Pour $n=11$, on a:
$u_{11}=3\times (-1)^{10}=3$
Remarque
$(-1)^{n-1}=1$ si $n$ est impair ($n-1$ est pair) et $(-1)^{n-1}=-1$ si $n$ est pair ($n-1$ est impair)
donc $u_n=3$ si $n$ est impair et $u_n=-3$ si $n$ est pair
La suite $(u_n)$ est une suite alternée. - $u_{4}=6$ et $q=-5$, calculer $u_{5}$ et $u_{10}$ puis exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$ pour tout $n\in \mathbb{N}$
Aide
exprimer $u_{10}$ en fonction de $u_4$
$u_{n}=u_p\times q^{n-p}$Solution
$(u_{n})$ est géométrique de raison $q=-5$
donc $u_{5}=u_{4}\times q=6\times (-5)=-30$
$u_{10}=u_4\times q^{10-4}=6\times (-5)^6=93750$
$u_{n}=u_4\times q^{n-4}=6\times (-5)^{n-4}$
Remarque
On peut aussi écrire:
$u_n=6\times (-5)^n\times (-5)^{-4}=\dfrac{6}{5^4}\times (-5)^n=\dfrac{6\times (-5)^n}{625}$