1. Déterminer forme exponentielle de $1+i\dfrac{\sqrt{3}}{3}$.
  
  Rappel cours
  
  Module d'un complexe
  Soit $M$ d'affixe $z$.
  Le module de $z=x+iy$ ($x$ et $y$ réels) noté $|z|$ est $|z|=OM=\sqrt{x^2+y^2}$. Argument d'un complexe
  Soit $M$ d'affixe $z$.
  Si $z\neq 0$ l'argument de $z$ noté $arg(z)$ est une mesure en radians de l'angle $(\overrightarrow{i};\overrightarrow{OM})$}
  
  Solution
  
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2. En déduire la forme exponentielle de $z_1$ et $z_2$
  
  Aide
  
  utiliser le résultat de la question 1
  
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Montrer que pour tout entier naturel $z_n=\left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)^ne^{i\dfrac{n\pi}{6}}$

Rappel cours

Raisonnement par récurrence
On note $P_n$ une propriété définie pour tout entier naturel $n$.
Initialisation:
$P_0$ est vraie
Hérédité:
Si $P_n$ est vraie alors$P_{n+1}$ est vraie.
on a alors $P_n$ vraie pour tout entier naturel $n$.

Aide

On a $z_{n+1}=\left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}e^{i\dfrac{\pi}{6}}\right)z_n $

Solution

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Pour quelles valeurs de $n>0$ a-t-on $O$, $A_0$ et $A_n$ alignés?

Rappel cours

Angles et argument d'un quotient
Soient $A$ , $B$ et $C$ quatre points distincts d'affixes respectives $z_A$, $z_B$ et $z_C$.
$(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=arg\left(\dfrac{z_C-z_A}{z_B-z_A}\right)$

Aide

Il faut que l'angle entre les vecteuirs $\overrightarrow{OA_n}$ et $\overrightarrow{OA_0}$ soit $0+k2\pi$ ou bien $\pi+k2\pi$
c'est à dire finalement $0+k\pi$ avec $k\in \mathbb{Z}$

Solution

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Pour tout entier naturel $n$ on pose $d_n=|z_{n+1}-z_n|$
1. Interpréter géométriquement $d_n$
  
  Rappel cours
  
  Distances et modules
  Soient $A$ et $B$ d'affixes respectives $z_A$ et $z_B$.
  $AB=|z_B-z_A|$
  
  Aide
  
  L'affixe de $A_{n+1}$ est $z_{n+1}$ et l'affixe de $A_n$ est $z_n$
  
  Solution
  
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2. Calculer $d_0$
  
  Solution
  
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3. Montrer que pour tout entier $n$ on a $z_{n+2}-z_{n+1}=\left(1+i\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right)(z_{n+1}-z_n)$
  
  Aide
  
  On a $z_{n+1}=\left(1+i\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right)z_n$ et $z_{n+2}=\left(1+i\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right)z_{n+1}$
  
  Solution
  
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4. Montrer que la suite $(d_n)$ est géométrique et exprimer $d_n$ en fonction de $n$.
  
  Rappel cours
  
  Suite géométrique
  Une suite $(u_n)$ est géométrique s'il existe un réel $q$ tel que pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=u_n\times q$
  $q$ est la raison de la suite.
  Le quotient de deux termes consécutifs est égal à la raison soit $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=q$ Forme explicite d'une suite géométrique
  Si $(u_n)$ est géométrique de raison $q$ est premier terme $u_0$, on a:
  $u_n=u_0\times q^n$
  et pour tous entiers $n$ et $p$, $u_n=u_p\times q^{n-p}$
  
  Aide
  
  On a $d_{n+1}=\left|z_{n+2}-z_{n+1}\right|$
  
  Solution
  
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Montrer que pour tout entier naturel $n$ on a $|z_{n+1}|^2=|z_n|^2+d_n^2$ et en déduire la nature du triangle $OA_nA_{n+1}$.

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Explique comment construire le point $A_5$ uniquement à la règle (non graduée), à l'équerre et au compas.

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