Home TERMINALE SPÉCIALITÉ MATHS Chapitre 7 géométrie dans l'espace séquence 1 droites et plans de l'espace

Constructions d’intersections dans l’espace-section d’un pavé droit (réf 1301)

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Position relative de droites et de plans

Construction d’intersections dans l’espace

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Fiche méthode représentation paramétrique d’une droite (réf 1295)
méthode

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Vidéo de l’exercice

$ABCDEFGH$ est un pavé droit et les points $I$ et $J$ appartiennent respectivement aux segments $[AB]$ et $[HE]$ tel que $(IJ)$ et $(BE)$ ne sont pas parallèles(voir figure ci-dessous).
section pavé droit

Justifier que les droites $(IJ)$ et $(AH)$ sont sécantes en $M$ puis construire le point $M$.

Rappel cours

vecteurs coplanaires
Trois vecteurs $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$ non nuls sont coplanaires si les points $A$, $B$, $C$ et $D$ définis par $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{AD} =\overrightarrow{w}$ sont dans un même plan.

Aide

Il faut justifier que les deux droites sont contenues dans un même plan.

Solution

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Construire le point d'intersection $N$ de la droites $(IJ)$ et du plan $(BEF)$.

Aide

Il faut utiliser deux droites coplanaires (contenues dans un même plan).

Solution

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$K$ est un point du segment $[DC]$ tel que $DK\neq AI$.
Tracer l'intersection du plan $(IJK)$ et du plan $(DCF)$.

Rappel cours

théorème du toit
Lorsque deux plans $P$ et $P'$ sont sécants et contiennent respectivement les droites $d$ et $d'$, l'intersection de $P$ et de $P'$ est une droite $\Delta$ parallèle à $d$ et à $d'$.

Aide

Il faut utiliser le fait que les plans $(ABE)$ et $(DCF)$ sont parallèles (faces opposées du pavé droit).

Solution

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En déduire l'intersection des plans $(IJK)$ et $(BEF)$.

Aide

Le point $N$ appartient aux plans $(IJK)$ et $(BEF)$
Il faut trouver un second point d'intersection des deux plans en utilisant la droite de la quation précédente et la droite $(CF)$

Solution

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