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Parité des fonctions carré, cube et inverse
Justifier qu’une fonction est paire ou impaire
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Tableau de variation d’une fonction paire ou impaire (réf 0267)
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- $f$ est définie par $f(x)=x^2$.
Rappeler l'ensemble de définition de $f$ et montrer que $f$ est paire.Rappel cours
Fonction paire
Une fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ est paire si pour tout réel $x$ de $D$ on a:
$\begin{cases} -x\in D\\ f(-x)=f(x) \end{cases}$
La représentation graphique de $f$ est alors symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
Remarque: pour tout réel $x\in D$ on a $-x\in D$ signifie que l'ensemble de définition est symétrique par rapport au zéro.
Par exemple si $D=[-3;5]$ la fonction $f$ ne peut pas être paire.Solution
$f$ est définie sur $D=\mathbb{R}$.
Pour tout réel $x\in D$ on a $-x\in D$
$f(-x)=(-x)^2=x^2=f(x)$
La courbe(parabole) est donc symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. - $f$ est définie par $f(x)=x^3$.
Rappeler l'ensemble de définition de $f$ et montrer que $f$ est impaire.Rappel cours
Fonction impaire
Une fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ est impaire si pour tout réel $x$ de $D$ on a:
$\begin{cases} -x\in D\\ f(-x)=-f(x) \end{cases}$
La représentation graphique de $f$ est alors symétrique par rapport à l'origine du repère.
Remarque: pour tout réel $x\in D$ on a $-x\in D$ signifie que l'ensemble de définition est symétrique par rapport au zéro.
Par exemple si $D=[-3;5]$ la fonction $f$ ne peut pas être impaire.Solution
$f$ est définie sur $D=\mathbb{R}$.
Pour tout réel $x\in D$ on a $-x\in D$
$f(-x)=(-x)^3=-x^3=-f(x)$
La courbe est donc symétrique par rapport à l'origine du repère. - $f$ est définie par $f(x)=\dfrac{1}{x}$.
Rappeler l'ensemble de définition de $f$ et montrer que $f$ est impaire.Solution
On doit avoir $x\neq 0$
donc $f$ est définie sur $D=\mathbb{R}^*$.
Pour tout réel $x\in D$ on a $-x\in D$
$f(-x)=\dfrac{1}{-x}=-\dfrac{1}{x}=-f(x)$
La courbe(hyperbole) est donc symétrique par rapport à l'origine du repère.