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Démonstration par récurrence
Démontrer la propriété de la somme des termes d’une suite arithmétique et géométrique par récurrence
Ressources associées et exercices semblables
Démontrer une propriété par récurrence (réf 0925)
exercice
- $(u_n)$ est une suite arithmétique de premier terme $u_0$ et de raison $r$.
Montrer par récurrence que la somme $S_n=u_0+u_1+...+u_n=(n+1)\times \dfrac{u_0+u_n}{2}$ pour tout entier naturel $n\geq 0$Rappel cours
Raisonnement par récurrence
On considère une propriété notée $P_n$ avec $n \in \mathbb{N}$.
$P_0$ vraie
-Si $P_n$ est vraie alors $P_{n+1}$ est vraie.
On a alors $P_n$ vraie pour tout entier naturel $n$.
Forme explicite d'une suite arithmétique
Si $(u_n)$ est arithmétique de raison $r$ est premier terme $u_0$, on a:
$u_n=u_0+nr$ et pour tous entiers $n$ et $p$, $u_n=u_p+(n-p)r$
Attention, si le premier terme de la suite est $u_1$ par exemple, on a alors $u_n=u_1+(n-1)r$Aide
$s_{n+1}=S_n+u_{n+1}$
Solution
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INSCRIPTION - $(u_n)$ est une suite géométrique de premier terme $u_0$ et de raison $q\neq 1$.
Montrer par récurrence que la somme $S_n=u_0+u_1+...+u_n=u_0\times \dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}$ pour tout entier naturel $n\geq 0$Rappel cours
Forme explicite d'une suite géométrique
Si $(u_n)$ est géométrique de raison $q$ est premier terme $u_0$, on a:
$u_n=u_0\times q^n$
et pour tous entiers $n$ et $p$, $u_n=u_p\times q^{n-p}$Solution
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