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Contenu
Signe d’un produit
Démontrer une inégalité par récurrence
Ressources associées et exercices semblables
Démontrer une propriété par récurrence (réf 0925)
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Démontrer une inégalité par récurrence (réf 0926)
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Démonstration de la somme des termes d’une suite arithmétique ou géométrique (réf 0928)
exercice
- Etudier le signe de l'expression $2x^2-(x+1)^2$
Aide
Il faut factioriser l'expression avec la troisième identité remarquable
Solution
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INSCRIPTION - Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n\geq 4$ on a $2^n\geq n^2$
Rappel cours
Raisonnement par récurrence
On considère une propriété notée $P_n$ avec $n \in \mathbb{N}$.
- $P_0$ vraie
- Si $P_n$ est vraie alors $P_{n+1}$ est vraie.
- On a alors $P_n$ vraie pour tout entier naturel $n$.
Aide
Pour $n\geq 4$, on peut noter $P_n$ la propriété $2^n\geq n^2$
Vérifier que la propriété est vraie pour $n=4$
Pour justifier l'hérédité, on peut utiliser le tableau de signe puisque $n\geq 4 >\dfrac{1}{\sqrt{2}-1}$ et le fait que $2^{n+1}=2\times 2^n$ et on a $2^n\geq n^2$Solution
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INSCRIPTION - On a alors $P_n$ vraie pour tout entier naturel $n$.