Conjecturer (donner sans justifier) $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2^+}f(x)$ puis $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}f(x)$

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On veut savoir ce qui se passe pour $f(x)$ quand $x \longrightarrow 2$ avec $x> 2 $ et vers quelle valeur se "rapproche" le dénominateur
On peut chercher d'abord ce qui se passe pour $x-2$ quand $x\longrightarrow +\infty$

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Démontrer la limite donnée pour $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}f(x)$

Rappel cours

limite $l$ en $+\infty$ et interprétation graphique
La fonction $f$ est définie sur un intervalle $[a;+\infty[$ et $\ell \in \mathbb{R}$.
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}f(x)=\ell$ si pour tout intervalle ouvert I contenant $\ell$, il existe $x_0$ tel que pour tout $x>x_0$ on a $f(x)\in $ I

La droite d'équation $y=\ell$ est asymptote à la courbe en $+\infty$

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On veut montrer que pour tout $\epsilon > 0$, il existe un réel $X_0$ tel que pour tout $x > X_0$ on ait $0 < f(x) < \epsilon$
Autrement dit, on veut savoir s'il est possible de rendre $f(x)$ aussi proche que l'on veut de $0$ quand $x$ devient de plus en plus grand

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Démontrer la limite donnée pour $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2^+}f(x)$

Rappel cours

Limite infinie quand $x \longrightarrow a$
$f$ est définie sur un intervalle $I$ contenant $a$.
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow a}f(x)=+\infty$ si pour tout réel $A>0$, il existe un réel $\epsilon>0$ avec $]a-\epsilon;a+\epsilon[\subset I$ tel que $f(x)>A$ pour tout $x\in ]a-\epsilon;a+\epsilon[$.
La droite d'équation $x=a$ est asymptote à a courbe.

Aide

On veut montrer que pour tout $A >0$, il existe un réel $X_0$ tel que pour tout $2 < x < X_0$ on ait $f(x) > A$
Autrement dit, on veut savoir s'il est possible de rendre $f(x)$ aussi grand que l'on veut quand $x$ est "proche" de 2 avec $x > 2$.

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Interpréter graphiquement les deux s limite ci-dessus

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