Forme canonique
Toute fonction polynôme de degré 2 définie sur $\mathbb{R}$ par $P (x) = ax^2 + bx + c$ peut s'écrire sous la forme $P (x) = a(x -\alpha)^2 + \beta$ avec $\alpha=\dfrac{-b}{2a}$ et $\beta= P ( \alpha)$.
Cette écriture de $P (x)$ est appelée forme canonique et $S(\alpha;\beta)$ est le sommet de la parabole représentant la fonction $P$

On connaît les coordonnées du sommet donc on peut utiliser la forme canonique
La parabole passe par le point $(1;3)$ donc $f(1)=3$

La forme canonique de $f$ est $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ avec $\alpha=\dfrac{-b}{2a}$ et $\beta=f(\alpha)$.
Le sommet de la parabole représentant $f$ a pour sommet $S(\alpha;\beta)$ et ici le sommet de la parabole a pour coordonnées $S(2;6)$
donc $f(x)=a(x-2)+6$
Le point $A(1;3)$ appartient à la parabole donc $f(1)=3$
$f(1)=3 \Longleftrightarrow a(1-2)^2+6=3$
$\phantom{f(1)=3} \Longleftrightarrow a+6=3$
$\phantom{f(0)=6} \Longleftrightarrow a=-3$
La forme canonique de $f$ est $f(x)=-3(x-2)^2+6$
Remarque Penser à contrôler le résultat avec la calculatrice en traçant la parabole obtenue avec la forme canonique trouvée