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Contenu
Limites et dérivation
Convexité et point d’inflexion
Théorème des valeurs intermédiaires
Exercice BAC 2022
Ressources associées et exercices semblables
Devoir convexité (réf 1075)
devoir
Devoir deux exercices BAC 2023 (réf 1080)
devoir
Fiche méthode théorème des valeurs intermédiaires (réf 1077)
méthode
On considère la fonction $P$ définie sur $[-1;+\infty[$ par $P(x)=2x^3-3x^2-1$
- Étudier les variations de $P$ (on ne demande pas les limites)
Aide
Il faut étudier le signe de $P'(x)$
Solution
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Infos abonnements - Montrer que $P(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $[-1;+\infty[$ et que $1\leq \alpha\leq 2$
Rappel cours
Théorème des valeurs intermédiaires
$f$ est une fonction continue sur $[a;b]$ (avec $a < b$).
Si $k$ est un réel compris entre $f(a)$ et $f(b)$ alors il existe au moins un réel $c\in [a;b]$ tel que $f(c)=k$.
Cas où la fonction est monotone
Si $f$ est continue sur $[a;b]$ et strictement monotone alors pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$ l'équation $f(x)=k$ admet une unique solution.
$f$ strictement monotone signifie que $f$ est strictement croissante (ou strictement décroissante).Aide
Il faut distinguer les intervalles $[-1;1]$ et $[1;+\infty[$
Solution
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Infos abonnements - En déduire le signe de $P(x)$
Aide
La courbe de $P$ coupe l'axe des abscisses en $\alpha$
Solution
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Infos abonnements
Partie 2 On considère la fonction $f$ définie sur $D=]-1;+\infty[$ par $f(x)=\dfrac{1-x}{1+x^3}$.
- Déterminer les limites aux bornes de $D$
Rappel cours
Cas d'indétermination
$+\infty-\infty$
$0\times \pm \infty$
$\dfrac{\pm \infty}{\pm \infty}$
$\dfrac{0}{0}$
Attention, les écritures ci-dessus remplacent les limites mais sont incorrectes...Aide
On peut factoriser $x$ au numérateur et $x^3$ au dénominateur pour la limite en $+\infty$
Solution
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Infos abonnements - Montrer que $f'(x)=\dfrac{P(x)}{\left(1+x^3\right)^2}$ et dresser le tableau de variation de $f$
Rappel cours
Formules de dérivation (produit, quotient...)
Aide
On pose $u(x)=1-x$ et $v(x)=1+x^3$
Solution
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Infos abonnements - Montrer que $f(\alpha)=\dfrac{2(1-\alpha)}{3(1+\alpha^2)}$
Aide
On a $P(\alpha)=0$ soit $2\alpha^3-3\alpha^2-1=0$
Solution
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La fontion $p$ est définie sur $[-3;4]$ par $p(x)=x^3-3x^2+5x+1$.
- Déterminer les variations de $p$·.
Solution
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Infos abonnements - Justifier que l'équation $p(x) = 0$ admet dans l'intervalle $[-3 ; 4]$ une unique solution qui sera
notée $\alpha$.
Rappel cours
Théorème des valeurs intermédiaires
$f$ est une fonction continue sur $[a;b]$ (avec $a < b$).
Si $k$ est un réel compris entre $f(a)$ et $f(b)$ alors il existe au moins un réel $c\in [a;b]$ tel que $f(c)=k$.
Cas où la fonction est monotone
Si $f$ est continue sur $[a;b]$ et strictement monotone alors pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$ l'équation $f(x)=k$ admet une unique solution.
$f$ strictement monotone signifie que $f$ est strictement croissante (ou strictement décroissante).Solution
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Infos abonnements - Déterminer une valeur approchée de $\alpha$ au dixième près.
Aide
Il faut donc encadrer $\alpha$ aux centièmes
Solution
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Infos abonnements - En déduire le signe de $p(x)$
Aide
La courbe coupe l'axe des abscisses en $\alpha$ et $p$ est strictement croissante sur $[-3;4]$
Solution
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Partie B
La fonction $f$ est définie sur $[-3;4]$ par $f(x)=\dfrac{e^x}{1+x^2}$ et on note $\mathcal{C}_f$ sa représentation graphique dans un repère orthonormé.
- Calculer $f'(x)$.
Rappel cours
Formules de dérivation (produit, quotient...)
Aide
On pose $u(x)=e^x$ et $v(x)=1+x^2$
Solution
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Infos abonnements - Justifier que la courbe $\mathcal{C}_f$ admet une tangente horizontale au point d'abscisse $1$ et en donner son équation réduite.
Rappel cours
Équation de la tangente au point d'abscisse $a$
$f$ est une fonction définie et dérivable en $x=a$.
La tangente à $C_f$ en $a$ a pour coefficient directeur $f'(a)$
et pour équation réduite $ y=f'(a)(x-a)+f(a)$}Aide
Une droite parallèle à l'axe des abscisses a pour coefficient directeur $0$
Solution
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Infos abonnements - Les concepteurs d'un toboggan utilisent la courbe $\mathcal{C}_f$ comme profil d'un toboggan.
Ils estiment que le toboggan assure de bonnes sensations si le profil possède au moins deux points d'inflexion.
- D'après le graphique ci-dessus, les conditions sont elles respectées pour que le toboggan assure de bonnes sensations?
Aide
Rappel il y a un point d'inflexion quand la courbe "traverse" sa tangente
Solution
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Infos abonnements - on admet que $f''$ dérivée seconde de $f$ vaut $f''(x)=\dfrac{p(x)(x-1)e^x}{(1+x^2)^3}$
Justifier l'observation faites à la question précédente par le calcul.Rappel cours
point d'inflexion et dérivée seconde
si $f"(x)$ s'annule et change de signe en $x=x_A$ alors la courbe admet un point d'inflexion au point $A$.
Aide
On peut utiliser le signe de $p(x)$ pour dresser un tableau de signes de $f''(x)$
Solution
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- D'après le graphique ci-dessus, les conditions sont elles respectées pour que le toboggan assure de bonnes sensations?
- Déterminer $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty} f_n(x)$
Aide
On peut factoriser $x$ au numérateur et au dénominateur pour lever l'indétermination
Solution
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Infos abonnements - Montrer que $f_n'(x)=\dfrac{2n}{(x+n)^2}+e^{-x}$
Aide
On pose $u(x)=x-n$ et $v(x)=x+n$
Solution
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Infos abonnements - Dresser le tableau de variation de $f_n$
Solution
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Infos abonnements - Quel est le signe de $f_n(n)$ pour tout $n\in \mathbb{N}^*$?
Solution
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Infos abonnements - Montrer par récurrence que $e^{n+1} > 2n+1$ pour tout entier naturel $n\geq 1$
Rappel cours
Raisonnement par récurrence
On considère une propriété notée $P_n$ avec $n \in \mathbb{N}$.
- $P_0$ vraie
- Si $P_n$ est vraie alors $P_{n+1}$ est vraie.
- On a alors $P_n$ vraie pour tout entier naturel $n$.
Solution
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Infos abonnements - En déduire que $f_n(n+1) > 0$
Aide
On a $e^{n+1} > 2n+1$
Solution
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Infos abonnements - Montrer que l'équation $f_n(x)=0$ admet une unique solution $\alpha_n$ sur $[n;n+1]$
Rappel cours
Théorème des valeurs intermédiaires
$f$ est une fonction continue sur $[a;b]$ (avec $a < b$).
Si $k$ est un réel compris entre $f(a)$ et $f(b)$ alors il existe au moins un réel $c\in [a;b]$ tel que $f(c)=k$.
Cas où la fonction est monotone
Si $f$ est continue sur $[a;b]$ et strictement monotone alors pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$ l'équation $f(x)=k$ admet une unique solution.
$f$ strictement monotone signifie que $f$ est strictement croissante (ou strictement décroissante).Solution
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Infos abonnements - Calculer $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} \alpha_n$ puis $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty}\dfrac{\alpha_n}{n}$
Aide
On a $n\leq \alpha_n\leq n+1$...
Solution
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