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Contenu
Équations et inéquations avec ln
Étude de fonction avec ln
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exercice
BAC 2023: Suites arithméticogéométrique et fonction composée avec ln (réf 1129)
exercice
Devoir complet fin de chapitre trois ex BAC 2023 (réf 1131)
devoir
- Calculer $ln(e^3)-3ln(1)$
Rappel cours
Propriétés algébriques du logarithme
Pour tous réels $a$ et $b$ strictement positifs, on a:
$ln(ab)=ln(a)+ln(b)$
$ln\left(\dfrac{a}{b}\right)=ln(a)-ln(b)$
$ln\left(\dfrac{1}{b}\right)=-ln(b)$
$ln(\sqrt{a})=\dfrac{1}{2}ln(a)$
pour tout entier naturel $n >0$ on a $ln\left(a^n\right)=nln(a)$Aide
Rappel $ln(e)=1$
Solution
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Infos abonnements - Ecrire sous forme d'un seul logarithme $2ln(3)-3ln(2)$
Aide
Utiliser $nln(a)=ln(a^n)$ avec $n\in \mathbb{N}$ et $a > 0$
Solution
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Infos abonnements - Exprimer en fonction de $ln(2)$: $ln(4)-2ln(3)+ln(36)$
Aide
$4=2^2$ et $36=3^2\times 2^2$
Solution
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- Résoudre dans $]0;+\infty[$, $ln(x)=2$
Rappel cours
Lien entre logarithme et exponentielle
- Pour tout réel $a >0$ on a $e^{ln(a)}=a$
- Pour tout réel $b$ on a $ln(e^b)=b$
- Valeurs particulières
$ln(1)=0$ et $ln(e)=1$Solution
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Infos abonnements - Résoudre dans $]0;+\infty[$, $3ln(x)-ln(x^2)=1$
Aide
Rappel $ln(x^2)=2ln(x)$
Solution
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Infos abonnements - Résoudre $x^3=5$
Aide
$ln(x^3)=ln(5)$ et $ln(x^3)=3ln(x)$
Solution
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Infos abonnements - Résoudre dans $]0;+\infty[$, $-2ln(x) < 4$
Solution
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Infos abonnements - Résoudre $ln(x+1)+ln(2-x)=0$
Aide
Chercher d'abord l'ensemble de résolution (il faut $x+1 > 0$ et $2-x > 0$)
Regrouper en un seul logarithme le membre de gaucheSolution
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Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle [0,5;25] par $f(x) = 18 ln x - x^2 + 16x - 15$.
Si $x$ représente le nombre de centaines de panneaux solaires fabriqués et vendus, alors on admet que $f(x)$ représente le bénéfice mensuel de l'entreprise, en milliers d'euros.
On suppose que $f$ est dérivable sur $[0,5;25]$, et on note $f~'$ sa fonction dérivée.
- Calculer $f~'(x)$.
Vérifier que, pour tout nombre $x$ appartenant à l'intervalle $[0,5;25]$, on a $f~'(x) = \dfrac{- 2x^2 + 16x + 18}{x}$.Rappel cours
Dérivée de la fonction ln
La fonction $ln$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ et $(ln(x))'=\dfrac{1}{x}$Aide
Réduire au même dénominateur pour retrouver le résultat de l'énoncé.
Solution
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Infos abonnements - Étudier le signe de $f~'(x)$ sur l'intervalle $[0,5;25]$.
Rappel cours
Signe de $ax^2+bx+c$
- Cas $\Delta>0$ (deux racines $x_1$ et $x_2$
- Cas $\Delta=0$ (une racine $x_1$)
- Cas $\Delta<0$ (aucune racine)
Aide
$x > 0$ donc $f~'(x)$ est du signe de son numérateur
Solution
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Infos abonnements - Calculer $f(1)$.
Solution
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Infos abonnements - Montrer que sur l'intervalle [18~;~19] l'équation $f(x) = 0$ admet une solution unique $\alpha$.
Déterminer une valeur approchée par défaut de $\alpha$ à $10^{- 2}$ près.Rappel cours
Théorème des valeurs intermédiaires
$f$ est une fonction continue sur $[a;b]$ (avec $a
Cas où la fonction est monotone
Si $f$ est continue sur $[a;b]$ et strictement monotone alors pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$ l'équation $f(x)=k$ admet une unique solution.
$f$ strictement monotone signifie que $f$ est strictement croissante (ou strictement décroissante).Aide
Il faut calculer $f(18)$ et $f(19)$ et vérifier que 0 est compris entre $f(18)$ et $f(19)$
Solution
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Infos abonnements - En déduire le signe de $f(x)$ pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $[0,5;25]$.
Aide
On peut placer $\alpha$ et $f(\alpha)=0$ dans le tableau de variation de $f$.
Solution
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Infos abonnements - Quels sont le nombre minimal et le nombre maximal de panneaux que l'entreprise doit produire et vendre pour être bénéficiaire ?
Aide
L'entreprise fait du bénéfice si $f(x) > 0$
Solution
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Infos abonnements - Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.
L'entreprise peut-elle réaliser un bénéfice mensuel de 100~000 euros ? Justifier la réponse.Solution
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