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Contenu
Inverse d’une matrice carrée d’ordre 2
Écriture matricielle d’un système d’équation et résolution
Suites et matrices
Ressources associées et exercices semblables
Devoir matrices et opérations sur les matrices (réf 1640)
devoir
Devoir matrices, calculs avec les matrices, systèmes d’équations (réf 1642)
devoir
- Justifier que $A$ est inversible.
Rappel cours
Déterminant d'une matrice carrée d'ordre 2
Soit $A=\begin{pmatrix} a&b\\c&d \end{pmatrix}$
le déterminant de $A$ noté $det(A)$ est le réel $det(A)=ad-bc$}Aide
Il faut vérifier que le déterminant est non nul
Solution
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Infos abonnements - Déterminer (par le calcul) la matrice $A^{-1}$.
Rappel cours
Inverse d'une matrice carrée d'ordre 2
Soit $A=\begin{pmatrix} a&b\\c&d \end{pmatrix}$ telle que $det(A)\neq 0$.
$A^{-1}=\dfrac{1}{det(A)}\begin{pmatrix} d&-b\\-c&a \end{pmatrix}$Solution
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-
- Déterminer les matrices $A$, $B$ et $X$ pour que le système précédent soit équivalent à l'équation matricielle d'inconnue $X$ : \[(E): AX=B \]
Rappel cours
Système d'équations et matrices
Un système à $n$ équations et à $n$ inconnues de la forme $\begin{cases} a_{11}x_1+a_{12}x_2+a_{13}x_3+...+a_{1n}x_n=b_1\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+a_{23}x_3+...+a_{2n}x_n=b_2\\ ...\\ ...\\ ...\\ a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+a_{n3}x_3+...+a_{nn}x_n=b_n \end{cases} $ peut sécrire sous la forme $AX=B$ avec
$A=\begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}&...&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}&...&a_{2n}\\ ...\\ ...\\ ...\\ a_{n1}&a_{n2}&a_{n3}x_3&...&a_{nn} \end{pmatrix}$
$X=\begin{pmatrix} x_1\\x_2\\...\\...\\x_n \end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix} b_1\\b_2\\...\\...\\b_n \end{pmatrix}$
Si $A$ est inversible on a alors $AX=B\Longleftrightarrow A^{-1}AX=A^{-1}B\Longleftrightarrow X=A^{-1}B$Solution
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Infos abonnements - Avec la calculatrice, déterminer $A^{-1}$.
Solution
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Infos abonnements - Résoudre $(S)$.
Aide
Il faut calculer $A^{-1}B$
Solution
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- Déterminer les matrices $A$, $B$ et $X$ pour que le système précédent soit équivalent à l'équation matricielle d'inconnue $X$ : \[(E): AX=B \]
- Soit $f$ la fonction définie pour tout réel $x$ par $f(x)=ax^2+bx+c$ où $a$, $b$ et $c$ sont trois nombres réels.
La courbe $C_f$, représentative de la fonction $f$ passe par les points $M(1;11)$, $N(3;5)$ et $P(-2;-10)$.
On cherche à déterminer la valeur des coefficients $a$, $b$ et $c$.- Montrer qu'il faut résoudre le système $(S)$ de la question 1 pour déterminer $a$, $b$ et $c$.
Solution
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Infos abonnements - En déduire l'expression de $f$.
Solution
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- Montrer qu'il faut résoudre le système $(S)$ de la question 1 pour déterminer $a$, $b$ et $c$.
-
- Montrer que $P^{-1}=\begin{pmatrix}2&3\\3&4\end{pmatrix}$
Rappel cours
Inverse d'une matrice carrée d'ordre 2
Soit $A=\begin{pmatrix} a&b\\c&d \end{pmatrix}$ telle que $det(A)\neq 0$.
$A^{-1}=\dfrac{1}{det(A)}\begin{pmatrix} d&-b\\-c&a \end{pmatrix}$Solution
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Infos abonnements - Vérifier que la matrice $B=P^{-1}AP$ (calculatrice autorisée) est une matrice diagonale à préciser.
Solution
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- Montrer que $P^{-1}=\begin{pmatrix}2&3\\3&4\end{pmatrix}$
- Montrer par récurrence que, pour tout entier $n\in\mathbb{N}$, $B^n=\begin{pmatrix}1&0\\0&0,5^n\end{pmatrix}$.
Solution
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Infos abonnements - Exprimer $A$ en fonction de $B$ puis $A^n$ en fonction de $B^n$ pour tout $n\in\mathbb{N}$.
Aide
Exprimer $A$ en fonction de $B$
Solution
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$\begin{cases} a_0=9\qquad b_0=15 \\ a_{n+1}=-4a_n+3b_n+1 & \forall n\in\mathbb{N} \\ b_{n+1}=-8a_n+6b_n-1 & \forall n\in\mathbb{N} \\ \end{cases}$
On pose, pour tout entier $n$, $U_n=\begin{pmatrix}a_n&b_n\end{pmatrix}$.
- Déterminer $U_0$.
Solution
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Infos abonnements - Déterminer les matrices $A$ et $B$ telles que : $ \forall n\in\mathbb{N}, \quad U_{n+1}=AU_n+B$
Aide
Les coefficients de $A$ correspondent aux coefficients de $a_n$ et $b_n$
Solution
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Infos abonnements- Résoudre l'équation matricielle : $ AX+B=X $ et on appellera $C$ la solution.
Aide
$ AX+B=X \Longleftrightarrow AX-X=-B\Longleftrightarrow A-I_2)X=-B$
Solution
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Infos abonnements- On pose, pour tout entier $n$, $V_n=U_n-C$
- Démontrer que, pour tout entier $n$ : $ V_{n+1}=AV_n$
Solution
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Infos abonnements - En déduire l'expression de $V_n$ en fonction de $n$.
Rappel cours
Forme explicite d'une suite géométrique
Si $(u_n)$ est géométrique de raison $q$ est premier terme $u_0$, on a:
$u_n=u_0\times q^n$
et pour tous entiers $n$ et $p$, $u_n=u_p\times q^{n-p}$Solution
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Infos abonnements - Déterminer alors l'expression de $U_n$ en fonction de $A$, $U_0$ et $n$.
Aide
On a $V_n=U_n-C$ donc $U_n=V_n+C$
Solution
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- Démontrer par récurrence que, pour tout entier $n\geq 1$ : $A^n=\begin{pmatrix}-2^{n+1}&3\times 2^{n-1}\\&\\-2^{n+2}&3\times2^{n} \end{pmatrix}$
Solution
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Infos abonnements - Déduire de ce qui précède les expressions de $a_n$ et $b_n$ en fonction de $n$.
Aide
Utiliser $U_{n}=\begin{pmatrix}a_n\\b_n\end{pmatrix}$ =A^n\times V_0+C$
Solution
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- Résoudre l'équation matricielle : $ AX+B=X $ et on appellera $C$ la solution.
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