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Contenu
Forme trigonométrique et exponentielle d’un complexe
Équation de degré 2 et factorisation d’un polynôme de degré 3
Affixe d’un point et ensemble de points
Ressources associées et exercices semblables
Exercice complexes et géométrie, ensemble de points (ex ancien BAC) (réf 1461)
exercice
Fiche méthode déterminer le module et un argument, forme trigonométrique d’un complexe (réf 1472)
méthode
Fiche méthode équations dans C et équations du second degré dans C (réf 1473)
méthode
- Déterminer l'écriture sous forme trigonométrique puis avec la notation exponentielle de $z$ et de $z'$
Rappel cours
Forme trigonométrique
Soit $z=x+iY$ un complexe.
Le module de $z$ noté $|z|$ est $|z|=OM=\sqrt{x^2+y^2}$.
Si $z\neq 0$ l'argument de $z$ noté $arg(z)$ est une mesure en radians de l'angle $(\overrightarrow{i};\overrightarrow{OM})$}
On a alors $x=|z|cos(arg(z))$ et $y=|z|sin(arg(z))$ soit $z=|z|(cos(arg(z)+isin(arg(z))$
Cette forme est appelée forme trigonométrique} de $z$.
Valeurs remarquables du cos et du sin
Solution
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Infos abonnements - En déduire l'écriture exponentielle de $zz'$.
Rappel cours
Forme exponentielle
$z$ est un complexe d'argument $\alpha$
La forme exponentielle de $z$ est $z=|z|e^{i\alpha}$Solution
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Infos abonnements - Calculer $zz'$ sous forme algébrique.
Solution
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Infos abonnements - En déduire la valeur exacte de $cos\left(\dfrac{\pi}{12}\right)$ et de $sin\left(\dfrac{\pi}{12}\right)$.
Aide
On peut utiliser l'écriture trigonométrique de $zz'$ et la forme algébrique de $zz'$.
Solution
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- Montrer que $z^2=2\sqrt{2}-2i\sqrt{2}$
Aide
On peut utiliser les identités remarquables avec $a=-\sqrt{2+\sqrt{2}}$ et $b=\sqrt{2-\sqrt{2}}$ et on a $a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
Solution
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Infos abonnements - Déterminer la forme exponentielle de $z^2$.
Rappel cours
Forme trigonométrique
Soit $z=x+iY$ un complexe.
Le module de $z$ noté $|z|$ est $|z|=OM=\sqrt{x^2+y^2}$.
Si $z\neq 0$ l'argument de $z$ noté $arg(z)$ est une mesure en radians de l'angle $(\overrightarrow{i};\overrightarrow{OM})$}
On a alors $x=|z|cos(arg(z))$ et $y=|z|sin(arg(z))$ soit $z=|z|(cos(arg(z)+isin(arg(z))$
Cette forme est appelée forme trigonométrique} de $z$. Valeurs remarquables du cos et du sin
Aide
Il faut calculer le module de $z^2$
Solution
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Infos abonnements - En déduire la forme exponentielle de $z$.
Aide
Si on note $\alpha=arg\left(z\right)$ ($2\pi$), on a $2\aplha=\theta+k2\pi$ avec $k\in \mathbb{Z}$
Solution
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Infos abonnements - En déduire la forme algébrique de $z^{10}$.
Aide
Il faut utiliser la forme exponentielle de $z$ et déterminer la mesure principale de $\dfrac{70\pi}{8}$
Solution
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- Montrer qu'il existe 3 réels $a,b,c$ que l'on déterminera tels que $P(z)=(z^2 + 3)(az^2+bz+c)$.
Aide
Il faut développer $(z^2 + 3)(az^2+bz+c)$ et identifier les coefficients pour avoir $(z^2 + 3)(az^2+bz+c)= z^4 - 6z^3 + 24z^2 - 18z + 63$ pour tout complexe $z$
Solution
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Infos abonnements - En déduire les 4 racines complexes de $P$.
Rappel cours
Équations du second degré à coefficients réels
équation du second degré à coefficients réels
Discriminant: $\Delta=b^2-4ac$
- Si $\Delta \geq 0$, on résout dans $\mathbb{R}$
Si $\Delta >0 $ il y a 2 racines $z_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $z_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$
Si $\Delta <0$ alors on a deux racines complexes conjuguées:
$z_1=\dfrac{-b-i\sqrt{|\Delta|}}{2a}$ et $z_2=\dfrac{-b+i\sqrt{|\Delta|}}{2a}=\overline{z_1}$
Aide
Il faut utiliser la forme factorisée de $P(z)$ et un produit de facteurs est nul si l'un des facteurs est nul
Solution
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On cherche l'ensemble $\mathcal{E}$ des points $M$ tels que $M'$ appartiennent à l'axe des ordonnées.
On note $A$ et $B$ les points d'affixes respectives $a=2$ et $b=-i$.
- Méthode algébrique
- On pose $z=x+iy$ avec $x$ et $y$ réels.
Déterminer la partie réelle et imaginaire pure de $z'$ en fonction de $x$ et $y$.Rappel cours
012 Suppression des complexes au dénominateur
Pour écrire un nombre complexe sans complexes au dénominateur, il faut multiplier le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur.
En effet $(a+ib)(a-ib)=a^2-iab+iba-i^2b^2=a^2+b^2$
soit $z\overline{z}=a^2+b^2$
Exemple:
$z=\dfrac{2+3i}{1-2i}=\dfrac{(2+3i)(1+2i)}{(1-2i)(1+2i)}=\dfrac{(2+3i)(1+2i)}{1+4}=\dfrac{(2+3i)(1+2i)}{5}$Aide
012 Il faut multiplier le numérateur et le dénominateur de $z'$ par le conjugué de $x+iy+i$(dénominateur) soit $x-iy-i$
Solution
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Infos abonnements - En déduire que $\mathcal{E}$ est un cercle privé du point $B$ dont on précisera le centre et le rayon.
Aide
$M'$ appartient à l'axe des ordonnées si et seulement si $z'$ imaginaire pur si et seulement si $Re(z')=0$
Rappel: le cercle de centre $C(x_C;y_C)$ et rayon $r$ a pour équation $(x-x_C)^2+(y-y_C)^2=r^2$Solution
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- On pose $z=x+iy$ avec $x$ et $y$ réels.
- Méthode géométrique
On note $M$ le point d'affixe $z$ avec $z\neq -i$.- Montrer que si $M\in \mathcal{E}$ alors on a $arg\left(\dfrac{z-a}{z-b}\right)=\dfrac{\pi}{2}+k\pi$ avec $k\in \mathbb{Z}$
Aide
L'argument d'un complexe imaginair pur est $\dfrac{\pi}{2}$ ($2\pi$) ou $-\dfrac{\pi}{2}$ ($2\pi$)
Solution
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Infos abonnements - Retrouver alors l'ensemble $\mathcal{E}$ en utilisant la question précédente.
Aide
Le cercle circonscrit à un triangle $ABM$ rectangle en $M$ est le cercle de diamètre $[AB]$.
Solution
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- Montrer que si $M\in \mathcal{E}$ alors on a $arg\left(\dfrac{z-a}{z-b}\right)=\dfrac{\pi}{2}+k\pi$ avec $k\in \mathbb{Z}$
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