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Deux exercices BAC 2023 spécialité maths
Dérivation, limites, théorème des valeurs intermédiaires et convexité
Ressources associées et exercices semblables
Devoir convexité (réf 1075)
devoir
$\mathcal{T}$ est la tangente à la courbe au point $A(1;1)$
Partie A : lectures graphiques
- Déterminer l'équation réduite de la tangente $\mathcal{T}$.
Rappel cours
Équation de la tangente au point d'abscisse $a$
$f$ est une fonction définie et dérivable en $x=a$.
La tangente à $C_f$ en $a$ a pour coefficient directeur $f'(a)$
et pour équation réduite $ y=f'(a)(x-a)+f(a)$}Solution
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Infos abonnements- Donner les intervalles sur lesquels la fonction $f$ semble convexe ou concave.
Rappel cours
Convexité et tangentes
Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle I et $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative.
$f$ est convexe sur I si la courbe $\mathcal{C}_f$ est au-dessus de ses tangentes.
Dans le cas contraire, $\mathcal{C}_f$ en-dessous de ses tangentes), $f$ est concave.Solution
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Partie B : étude de la fonction- On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$.
Déterminer l'expression de sa fonction dérivée $f'$.Rappel cours
Dérivée de $\dfrac{1}{u}$
$\left(\dfrac{1}{u}\right)'=\dfrac{-u'}{u^2}$
Cas de la fonction $e^{u}$
La fonction $f$ définie sur $I$ par $f(x)=e^{u(x)}$ avec $u$ fonction dérivable sur $I$ est dérivable sur $I$ et $f'(x)=u'(x)e^{u(x)}$Aide
On pose $u(x)=1+e^{-3x}$
Solution
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Infos abonnements - Justifier que la fonction $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.
Aide
$e^{-3x} > 0$ et $\left(1 + e^{- 3x}\right)^2 > 0$
Solution
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- Déterminer la limite en $+\infty$ de la fonction $f$.
Aide
On pose $u(x)=e^{-3x}=X$ et on utilise la composée de exponentielle et de $u$
Solution
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Infos abonnements - Déterminer la limite en $- \infty$ de la fonction $f$.
Solution
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- Déterminer la limite en $+\infty$ de la fonction $f$.
Partie C : Tangente et convexité- Déterminer par le calcul une équation de la tangente $\mathcal{T}$ à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $0$.
Rappel cours
Équation de la tangente au point d'abscisse $a$
$f$ est une fonction définie et dérivable en $x=a$.
La tangente à $C_f$ en $a$ a pour coefficient directeur $f'(a)$
et pour équation réduite $ y=f'(a)(x-a)+f(a)$}Solution
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Infos abonnements - On admet que la fonction $f$ est deux fois dérivable sur $\mathbb{R}$.
On note $f''$ la fonction dérivée seconde de la fonction $f$.
On admet que $f''$ est définie sur $\mathbb{R}$ par $f''(x) = \dfrac{9e^{-3x} \left(e^{-3x} - 1\right)}{\left(1 + e^{-3x} \right)^3}$
Étudier le signe de la fonction $f''$ sur $\mathbb{R}$.Aide
e^{-3x} > 0$ et $1+e^{-3x} > 0$
Solution
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- Indiquer, en justifiant, sur quel(s) intervalle(s) la fonction $f$ est convexe.
Rappel cours
Signe de la dérivée seconde
Soit $f$ définie et dérivable sur un intervalle I de $\mathbb{R}$
si $f''(x)>0$ sur $I$ alors $f$ est convexe
si $f''(x)<0$ sur $I$ alors $f$ est concaveSolution
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Infos abonnements - Que représente le point $A$ pour la courbe $\mathcal{C}_f$ ?
Rappel cours
point d'inflexion et dérivée seconde
si $f"(x)$ s'annule et change de signe en $x=x_A$ alors la courbe admet un point d'inflexion au point $A$.
Solution
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Infos abonnements - En déduire la position relative de la tangente $\mathcal{T}$ et de la courbe $\mathcal{C}_f$.
Solution
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- Indiquer, en justifiant, sur quel(s) intervalle(s) la fonction $f$ est convexe.
Exercice 2 (10 points)Partie A
Le plan est ramené à un repère orthogonal.
On a représenté ci-dessous la courbe d'une fonction $f$ définie et deux fois dérivable sur $\mathbb{R}$, ainsi que celle de sa dérivée $f'$ et de sa dérivée seconde $f''$.
- Déterminer, en justifiant votre choix, quelle courbe correspond à quelle fonction.
Aide
Lorsque $f$ est croissante alors $f'(x) >0$
Lorsque $f$ est convexe alors $f''(x) > 0$Solution
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Infos abonnements - Déterminer, avec la précision permise par le graphique, le coefficient directeur de la tangente à la courbe $\mathcal{C}_2$ au point d'abscisse $4$.
Solution
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Infos abonnements - Donner avec la précision permise par le graphique, l'abscisse de chaque point d'inflexion de la courbe $\mathcal{C}_1$.
Solution
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Partie B
$k$ est un réel strictement positif.
On considère la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x) = \dfrac{4}{1 + e^{- kx}}$.- Déterminer les limites de $g$ en $+ \infty$ et en $-\infty$
Aide
On pose $u(x)=-kx=X$
Solution
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Infos abonnements - Prouver que $g'(0) = k$.
Rappel cours
Cas de la fonction $e^{u}$
La fonction $f$ définie sur $I$ par $f(x)=e^{u(x)}$ avec $u$ fonction dérivable sur $I$ est dérivable sur $I$ et $f'(x)=u'(x)e^{u(x)}$
$\left(\dfrac{1}{u}\right)'=\dfrac{-u'}{u^2}$Aide
On pose $u(x)=1+e^{-kx}$
Solution
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Infos abonnements - Un logiciel de calcul formel, donne les résultats ci-dessous:
Prouver que la courbe de $g$ admet un point d'inflexion au point d'abscisse 0.Aide
Il faut que la dérivée seconde s'annule et change de signe en $x=0$ donc étudier le signe de g''(x)$
Solution
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- Donner les intervalles sur lesquels la fonction $f$ semble convexe ou concave.