Home TERMINALE SPÉCIALITÉ MATHS Chapitre 3 dérivation, continuité et convexité séquence 5 exercices de synthèse et devoirs d'entraînement

Exponentielle et suites (d’après BAC 2022) (réf 1073)

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Contenu

Dérivée d’un produit avec exponentielle

Limites avec exponentielle

Algorithme python

Raisonnement par récurrence

Limite d’une suite majorée croissante

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Aide mémoire dérivation, TVI et convexité (réf 1079)
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Vidéo de l’exercice

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^3e^x$
On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et on note $f'$ sa fonction dérivée. \medskip

On définit la suite $(u_n)$ par $u_0 = - 1$ et, pour tout entier naturel $n$ : $u_{n+1} = f(u_n)$.
1. Calculer $u_1$ puis $u_2$.
  
  Solution
  
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2. On considère la fonction, écrite en langage Python ci-dessous.
  
  Déterminer, sans justifier, la valeur renvoyée par $fonc(2)$ arrondie à $10^{-3}$.
  
  Aide
  
  L'algorithme calcule les termes de la suite $(u_n)$ puisque u=u**3*exp(u) et on a initialisé u à la valeur de $u_0$
  
  Solution
  
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1. Démontrer que, pour tout $x$ réel, on a $f'(x) = x^2e^x(x + 3)$.
  
  Rappel cours
  
  Formules de dérivation (produit, quotient...)
  
  Aide
  
  On pose $u(x)=x^3$ et $v(x)=e^x$
  
  Solution
  
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2. Justifier que le tableau de variations de $f$ sur $\mathbb{R}$ est celui représenté ci-dessous :
  
  Rappel cours
  
  Croissances comparées de $x^n$ et $e^x$
  $n\in \mathbb{N}^*$
  $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}\dfrac{e^x}{x}=+\infty$
  et $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}\dfrac{e^x}{x^n}=+\infty$
  
  Aide
  
  Il faut justifier le sens de variation et les limites
  
  Solution
  
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3. Démontrer, par récurrence, que pour tout entier naturel $n$, on a $- 1 \leq u_n \leq u_{n+1} \leq 0$.
  
  Rappel cours
  
  Raisonnement par récurrence
  On note $P_n$ une propriété définie pour tout entier naturel $n$.
  Initialisation:
  $P_0$ est vraie
  Hérédité:
  Si $P_n$ est vraie alors$P_{n+1}$ est vraie.
  on a alors $P_n$ vraie pour tout entier naturel $n$.
  
  Aide
  
  On peut utiliser le sens de variation de la fonction $f$ sur $]-3;+\infty[$
  
  Solution
  
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4. En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente.
  
  Aide
  
  La suite $(u_n)$ est donc croissante et majorée par $0$
  
  Solution
  
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5. On note $\ell$ la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
  On rappelle que $\ell$ est solution de l'équation $f(x) = x$.
  On admet que l'équation $x^2e^x-1=0$ admet une unique solution supérieure à $0,5$
  Déterminer $\ell$
  
  Solution
  
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