Une étude est réalisée chaque hiver sur une population composée de personnes qui peuvent pratiquer le ski de piste ou le snowboard.
L'étude révèle que :
Si une personne pratique le ski de piste, alors la probabilité qu'elle pratique le snowboard l'hiver suivant est égale à $0,2$.
Si une personne pratique le snowboard, alors la probabilité qu'elle pratique le ski de piste l'hiver suivant est égale à $0,3$.
On note $S$ l'état : "la personne pratique le ski de piste" et $\overline{S}$ l'état : " la personne pratique le snowboard".
On note également pour tout entier naturel $n$ :
$p_{n}$ la probabilité qu'une personne pratique le ski de piste lors du $n$-ième hiver ;
$q_{n}$ la probabilité qu'une personne pratique le snowboard lors du $n$-ième hiver;
$P_{n} = \left(p_{n}\quad q_{n}\right)$ la matrice ligne donnant l'état probabiliste du système lors du $n$-ième hiver.
On suppose que la population initiale ne comporte que des personnes pratiquant le ski de piste, on a donc $P_{0} = (1\quad 0)$.

1. Représenter la situation à l'aide d'un graphe probabiliste de sommets $S$ et $\overline{S}$.
   Rappel cours

   Graphe probabiliste
   Un graphe probabiliste est un graphe pondéré et la somme des coefficients des arêtes partant d'un sommet est égale à 1.

   Aide

   Il y a une probabilité de passer de $S$ à $\overline S$ de 0,2 donc il y a une probabilité de $1-0,2=0,8$ de rester sur le sommet $S$...

   Solution

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2. Donner la matrice de transition $M$ de ce graphe probabiliste.
   Rappel cours

   Matrice de transition d'un graphe probabiliste
   La matrice de transition d'une chaîne de Markov à $n$ états est une matrice carrée $M=(m_{ij})$ d'ordre $n$ telle que $m_{ij}$ est le poids de l'arête allant du sommet $S_i$ au sommet $S_j$.

   Solution

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3. 1. Calculer $M^2$
      Solution

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   2. Déterminer l'état probabiliste $P_{2}$ et en donner la signification.
      Aide

      P_1=P_0\times M$, $P_2=P_1\times M$...

      Solution

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4. Déterminer l'état stable $P$ et en donner la signification.
   Rappel cours

   État stable ou chaîne de Markov stationnaire
   On dit qu'une distribution $E$, représentée à l'aide d'une matrice ligne, est stationnaire pour une chaîne de Markov dont la matrice de transition est $M$ si $E=E\times M$.

   Solution

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5. Exprimer $p_{n+1}$ en fonction de $p_n$ et $q_n$ et en déduire que pour tout entier naturel $n$, on a
   $p_{n+1} = 0,5 p_{n} + 0,3$.
   Aide

   $P_{n+1}=\begin{pmatrix}p_{n+1}&q_{n+1}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}p_n&q_n\end{pmatrix}\times M$

   Solution

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6. On considère le programme ci-dessous:
   
   Recopier et compléter les lignes 2 et 4 de cet algorithme afin d'obtenir la probabilité $p_{N}$.
   Solution

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7. Soit la suite $\left(u_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $u_{n} = p_{n} - 0,6$.
   1. Démontrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison $0,5$ et préciser la valeur de $u_{0}$.
      Rappel cours

      Suite géométrique
      Une suite $(u_n)$ est géométrique s'il existe un réel $q$ tel que pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=u_n\times q$
      $q$ est la raison de la suite.
      Le quotient de deux termes consécutifs est égal à la raison soit $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=q$

      Aide

      $u_{n+1}=p_{n+1}-0,6=0,5p_n+0,3-0,6$ et $p_n=u_n+0,6$

      Solution

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   2. En déduire l'expression de $u_n$ en fonction de $n$ puis de $p_n$ en fonction de $n$.
      Rappel cours

      Forme explicite d'une suite géométrique
      Si $(u_n)$ est géométrique de raison $q$ est premier terme $u_0$, on a:
      $u_n=u_0\times q^n$
      et pour tous entiers $n$ et $p$, $u_n=u_p\times q^{n-p}$

      Solution

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   3. Déterminer la limite de la suite $\left(p_{n}\right)$ et interpréter ce résultat.
      Rappel cours

      Limite de $q^n$
      $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty}q^n=0$ pour $-1< q < 1$
      Si $q> 1 $ alors $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty}q^n=+\infty$

      Aide

      Chercher la limite de $u_n$

      Solution

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l Partie C
Une partie du domaine skiable est représentée par le graphe ci-dessous.
Le sommet A représente le haut des pistes de ski et le sommet I en représente le bas.
Les sommets B, C, D, E, F, G et H représentent des points de passages. l Chacune des arêtes est pondérée par la distance, en centaine de mètres, entre deux sommets.

Déterminer, à l'aide de l'algorithme de Dijkstra, la distance minimale permettant de relier le sommet A au sommet I. Pour satisfaire ses adhérents, un club de sport a instauré trois niveaux d'apprentissage : DÉBUTANT (D), CONFIRMÉ (C) et EXPERT (E).
Au premier septembre 2012, lors de l'inscription, le club comptait :
30% de débutants ;
50% de confirmés ;
20% d'experts.
D'une année sur l'autre, on constate que :
parmi les adhérents de niveau débutant, 40% restent à ce niveau et 60% passent au niveau confirmé ;
parmi les adhérents de niveau confirmé, 60% restent à ce niveau et 40% passent au niveau expert ;
parmi les adhérents de niveau expert, 80% restent à ce niveau, 10% redescendent au niveau confirmé et les autres 10% préfèrent reprendre les bases au niveau débutant.
On considère qu'il n'y a pas de nouveaux venus ni de départs dans le club.
Soit $P_{n} = \begin{pmatrix} d_n&c_n&e_n\end{pmatrix} $ la matrice ligne décrivant l'état probabiliste de la répartition parmi les trois niveaux d'apprentissage D, C et E au premier septembre de l'année $2012 + n$ pour tout entier naturel $n$.

1. Donner sans justification la matrice $P_{0}$.
   Solution

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2. Traduire la situation par un graphe probabiliste de sommets D, C et E.
   Solution

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3. Donner la matrice carrée $M$ de transition en respectant l'ordre D, C, E des sommets.
   Solution

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Dans la suite de l'exercice, on pourra utiliser les résultats suivants (résultats arrondis au millième) : $M^5 = \begin{pmatrix}0,085& 0,331& 0,584\\ 0,097 &0,293&0,610\\ 0,104& 0,298& 0,598\end{pmatrix}$ et $M^{10} = \begin{pmatrix}0,100 &0,299& 0,601\\ 0,100&0,300&0,600\\ 0,100& 0,300 &0,600\end{pmatrix}$
4. Calculer $P_1$.
   Solution

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5. Déterminer la répartition prévisible, en pourcentages, des adhérents dans ce club de sport au premier septembre 2017. Les résultats seront donnés à $0,1$% près.
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6. En calculant $P_{10}$, émettre une conjecture sur la matrice P correspondant à l'état probabiliste stable.
   Solution

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7. Démontrer cette conjecture
   Aide

   Il faut calculer $P\times M$

   Solution

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