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PGCD, théorème de Bezout et de Gauss
Exercice bilan sur le chapitre
Ressources associées et exercices semblables
Devoir PGCD, Bezout et Gauss (réf 1599)
devoir
Devoir PGCD, Bezout et Gauss (ex ancien BAC ) (réf 1600)
devoir
- Soit $x$ un entier relatif.
Montrer que si $x \equiv 0$ $(2)$ , $x \equiv 0 $ $(3)$ et $x \equiv 0$ $(13)$ alors $x \equiv 0 (78)$Rappel cours
corollaire du théorème de Gauss
Si $b$ et $c$ divisent $a$ et PGCD$(b,c)=1$ alors $bc$ divise $a$Aide
On peut d'abord appliquer le corollaire pour $2$ divise $x$ et $3$ divise $x$ puis pour $6$et $13$
Solution
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INSCRIPTION - Soit l'équation $(E)$ : $19x + 3y =2021$
- Justifier que $(E)$ admet des solutions entières
Rappel cours
Théorème de Bezout
Les entiers relatifs $a$ et $b$ sont premiers entre eux si et seulement si il existe un couple d'entiers relatifs $(u;v)$ tel que $au+bv=1$Solution
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INSCRIPTION - Déterminer une solution de $(E')$: $19x + 3y =1$
Aide
6\times 3=18$...
Solution
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INSCRIPTION - En déduire une solution particulière de $(E)$
Aide
On peut multiplier les deux membres de $(E')$ par $2021$
Solution
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INSCRIPTION - En déduire l'ensemble des solutions de (E)
Rappel cours
Théorème de Gauss
Soient $a$, $b$ et $c$ trois entiers relatifs non nuls.
Si $a$ divise $bc$ et PGCD$(a,b)=1$ alors $a$ divise $c$. Méthode résolution équation Diophantienne
- Chercher le PGCD$(a,b)=d$ et vérifier que $d$ divise $c$
- diviser tous les coefficients de l'équation par $d$
- On doit alors résoudre $a'x+b'y=c'$ (équation $E'$) avec $a'$ et $b'$ premiers entre eux
- Déterminer une solution particulière de l'équation $E'$ notée $(x_0;y_0)$
- On a alors:
$a'x+b'y=a'x_0+b'y_0\Longleftrightarrow a'(x-x_0)=-b'(y-y_0)$
avec $a'$ et $b'$ premiers entre eux. donc $a'$ divise $y-y_0$ d'après le théorème de Gauss
et donc $y=a'k+y_0$ avec $k\in \mathbb{Z}$
et on remplace $y$ par $a'k+y_0$ dans $E'$Aide
$
Solution
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INSCRIPTION
- Justifier que $(E)$ admet des solutions entières
- Montrer que pour tout $n$ entier relatif la fraction $\dfrac{21n+4}{14n+3}$ est irréductible
Rappel cours
Théorème de Bezout
Les entiers relatifs $a$ et $b$ sont premiers entre eux si et seulement si il existe un couple d'entiers relatifs $(u;v)$ tel que $au+bv=1$Aide
Il faut trouver une combinaison linéaire de $a=21n+4$ et $b=14n+3$ permettant d'éliminer $n$
Solution
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INSCRIPTION - Montrer que $39$ et $50$ sont premiers entre eux à l'aide de l'algorithme d'Euclide puis déterminer un couple d'entiers relatifs $(u;v)$ tels que $39u + 50v =1$
Rappel cours
Algorithme d'Euclide
Soient $a$ et $b$ deux entiers naturels non nuls tels que $aSolution
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INSCRIPTION