Envoyez votre messageInformations
Vous devez être inscrit pour accéder à ces informations.
Ceci vous permet de visualiser les ressources déjà vues et marquer à revoir celles qui nécessitent d'être retravaillées.
Contenu
Raisonnement par récurrence
Étude des variations d’une suite
Limite d’une suite décroissante minorée
Recherche de limites de suites
Théorème des gendarmes
Ressources associées et exercices semblables
Devoir suites révisions première (réf 0965)
devoir
- Démontrer par récurrence que la suite est minorée par $\dfrac{3}{2}$.
Rappel cours
Raisonnement par récurrence
On considère une propriété notée $P_n$ avec $n \in \mathbb{N}$.
- $P_0$ vraie
- Si $P_n$ est vraie alors $P_{n+1}$ est vraie.
- On a alors $P_n$ vraie pour tout entier naturel $n$.
Aide
La propriété à démontrer est $U_n > \dfrac{2}{3}$
Vérifier que la propriété est vraie pour $U_0$ (initialisation)
On suppose qu'il existe un entier natuel $k$ tel que $U_k > \dfrac{2}{3}$ et on veut montrer que $U_{k+1} > \dfrac{2}{3}$Solution
Vous devez être abonné pour accéder à ce contenu...
Infos abonnements - Déterminer le sens de variation de $(U_n)$
Rappel cours
Étude des variations(différence de deux termes consécutifs)
Pour étudier les variations de $(u_n)$, il faut comparer $u_{n+1}$ et $u_n$.
Exprimer $u_{n+1}-u_n$ en fonction de $n$
Étudier le signe de l'expression obtenue
Si $u_{n+1}-u_n >0 $ alors$u_{n+1} >u_n$ et donc la suite $(u_n)$ est croissante.
Si $u_{n+1}-u_n <0 $ alors$u_{n+1} < u_n$ et donc la suite $(u_n)$ est décroissante.Aide
On étudie le signe $U_{n+1}-U_n$ sachant que $U_n > \dfrac{2}{3}$
Solution
Vous devez être abonné pour accéder à ce contenu...
Infos abonnements - En déduire que la suite $(U_n)$ converge
Rappel cours
Limite d'une suite majorée ou minorée
Si la suite $(u_n)$ est croissante et majorée alors elle est convergente.
Si la suite $(u_n)$ est décroissante et minorée alors elle est convergenteSolution
Vous devez être abonné pour accéder à ce contenu...
Infos abonnements
- $u_n=2\times 17^n+6\times(-0,5)^n$ avec $n\in \mathbb{N}$
Rappel cours
Limite de $q^n$ (suite géométrique)
Si $q > 1 $ alors $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty}q^n=+\infty$
Si $-1 < q < 1 $ alors $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty}q^n=0$Aide
Chercher les limites des suites géométriques de raison $17$ et de raison $-0,5$
Solution
Vous devez être abonné pour accéder à ce contenu...
Infos abonnements - $v_n=\dfrac{3n^2+4n-1}{-2n^2+3n+1}$ avec $n\in \mathbb{N}$
Rappel cours
Formes indéterminées
Formes indéterminées à retenir $+\infty-\infty~~~~~~0\times \infty$
$\dfrac{0}{0}~~~~\dfrac{\infty}{\infty}$Aide
Il s'agit d'une forme indéterminée donc il faut factoriser $n^2$ au numérateur et au dénominateur
Solution
Vous devez être abonné pour accéder à ce contenu...
Infos abonnements - $u_n=\dfrac{cos(n^2)}{n^2}$ avec $n\in \mathbb{N}^*$
Rappel cours
Théorème des gendarmes
Soient trois suites $(u_n)$, $(v_n)$ et $(w_n)$.
Si $\lim_{n\rightarrow+\infty}u_n=\ell$ et $\lim_{n\rightarrow+\infty}w_n=\ell$ et s'il existe un entier $p$ tel que, pour tout $n\geq p$, $u_n\leq v_n\leq w_n$, alors $\lim_{n\rightarrow+\infty}v_n=\ell$.Aide
On peut encadrer $u_n$ sachant que $-1\leq cos(x)\leq 1$
Solution
Vous devez être abonné pour accéder à ce contenu...
Infos abonnements
- Démontrer que l'on peut encadrer $V_n$ à l'aide d'expressions de la forme $\dfrac{a}{n}$ où $a$ est un réel fixé que vous expliciterez (C'est à dire une inégalité du type $\dfrac{a}{n} \geq V_n \geq \dfrac{a'}{n}$)
Aide
On a $cos(n)$ compris entre $-1$ et $1$
Solution
Vous devez être abonné pour accéder à ce contenu...
Infos abonnements - en utilisant l'expression précédente déterminer la limite de $V_n$
Rappel cours
Théorème des gendarmes
Soient trois suites $(u_n)$, $(v_n)$ et $(w_n)$.
Si $\lim_{n\rightarrow+\infty}u_n=\ell$ et $\lim_{n\rightarrow+\infty}w_n=\ell$ et s'il existe un entier $p$ tel que, pour tout $n\geq p$, $u_n\leq v_n\leq w_n$, alors $\lim_{n\rightarrow+\infty}v_n=\ell$.Solution
Vous devez être abonné pour accéder à ce contenu...
Infos abonnements
- Déterminer le signe de $t_n-n$
Aide
On peut multiplier par l'expression conjuguée de $\sqrt{n^2+1}-n$ soit $\sqrt{n^2+1}+n$ pour utiliser la troisième identité remarquable
Solution
Vous devez être abonné pour accéder à ce contenu...
Infos abonnements - En déduire la limite de $t_n$
Aide
On a $t_n-n > 0$ donc $t_n > n$
Solution
Vous devez être abonné pour accéder à ce contenu...
Infos abonnements