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Contenu
PGCD, théorème de Bezout et de Gauss
Points de coordonnées entières d’une droite
Algorithme
Ressources associées et exercices semblables
Exercice bilan du chapitre: PGCD, Bezout et Gauss (réf 1598)
exercice
Devoir PGCD, Bezout et Gauss (réf 1599)
devoir
Aide mémoire PGCD, théorèmes de Bezout et de Gauss, nombres premiers (réf 1602)
mémo
Chaque question est indépendante.
- On considère l'équation $(E)$: $2x+11y=7$ avec $x$ et $y$ entiers relatifs.
Affirmation: Les seuls couples solutions de $(E)$ sont de la forme $(22k-2;-4k+1)$ avec $k$ appartenant à $\mathbb{Z}$.Aide
Chercher une solution de $(E)$ et vérifier si il existe une valeur de $k$ donnant cette solution
Solution
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Infos abonnements - $a$ et $b$ sont deux entiers relatifs quelconques et $n$ et $p$ deux entiers naturels premiers entre eux.
Affirmation: $a\equiv b$ ($p$) si et seulement si $na\equiv nb$ ($p$)Rappel cours
Addition, multiplication et exposant
$n$ est un entier naturel superieur ou égal à 2 et $a$, $b$, $c$ et $d$ quatre entiers relatifs tels que $a\equiv b$ $(n)$ et $c\equiv d$ $(n)$
- addition: $a+c\equiv c+d$ $(n)$
- multiplication $ac\equiv bd$ $(n)$
- exposant: $a^k \equiv b^k$ $(n)$
Théorème de Gauss
Soient $a$, $b$ et $c$ trois entiers relatifs non nuls.
Si $a$ divise $bc$ et PGCD$(a,b)=1$ alors $a$ divise $c$.Aide
Démontrer l'implication puis la réciproque
On a $na-nb\equiv 0$ (p$) soit $n(a-b)=kp$ avec $k\in \mathbbb{Z}$ et $n$ et $p$ premiers entre euxSolution
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Infos abonnements - $n$ est un entier naturel non nul congru à $1$ modulo $7$ alors PGCD de $3n+4$ et de $4n+3$ est égal à $7$.
Aide
Effectuer la division euclidienne de $4n+3$ par $3n+4$
Solution
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Infos abonnements - Soient $a$ et $b$ deux entiers naturels.
Affirmation: Si il existe deux entiers relatifs $u$ et $v$ tels que $au+bv=2$ alors PGCD$(a,b)=2$Solution
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Le plan est muni d'un repère $(O;\overrightarrow{i};\overrightarrow{j})$.
- Exemple. Soit $\Delta_1$ la droite d'équation $y = \dfrac{5}{4} x - \dfrac{2}{3}$.
- Montrer que si $(x,y)$ est un couple d'entiers relatifs alors l'entier $15x - 12y$ est divisible par $3$.
Aide
$15x-12y=3(5x-4y)$
Solution
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Infos abonnements - Existe-il au moins un point de la droite $\Delta_1$ dont les coordonnées sont deux entiers relatifs ? Justifier.
Aide
$y_0=\frac{5}{4}x_0-\frac{2}{3}\Longleftrightarrow 15x_0-12y_0=8$
Solution
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On considère désormais une droite $\Delta$ d'équation $(E)$: $ y = \dfrac{m}{n} x - \dfrac{p}{q}$ où $m, n, p$ et $q$ sont des entiers relatifs non nuls tels que pgcd$(m,n) = $pgcd$(p, q) = 1$.
Ainsi, les coefficients de l'équation $(E)$ sont des fractions irréductibles et on dit que $\Delta$ est une droite rationnelle.
Le but de l'exercice est de déterminer une condition nécessaire et suffisante sur $m, n, p$ et $q$ pour qu'une droite rationnelle $\Delta$ comporte au moins un point dont les coordonnées sont deux entiers relatifs. - Montrer que si $(x,y)$ est un couple d'entiers relatifs alors l'entier $15x - 12y$ est divisible par $3$.
- On suppose ici que la droite $\Delta$ comporte un point de coordonnées $\left(x_0,\:y_0\right)$ où $x_0$ et $y_0$ sont des entiers relatifs.
- En remarquant que le nombre $n y_0 - m x_0$ est un entier relatif, démontrer que $q$ divise le produit $np$.
Aide
$y_0=\frac{m}{n}x_0-\frac{p}{q}\Longleftrightarrow qmx^0-qny_0=qm x_0=np$
Solution
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Infos abonnements - En déduire que $q$ divise $n$.
Rappel cours
Théorème de Gauss
Soient $a$, $b$ et $c$ trois entiers relatifs non nuls.
Si $a$ divise $bc$ et PGCD$(a,b)=1$ alors $a$ divise $c$.Aide
$q$ divise $np$ et $q$ et $p$ premiers entre eux
Solution
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- En remarquant que le nombre $n y_0 - m x_0$ est un entier relatif, démontrer que $q$ divise le produit $np$.
- Réciproquement, on suppose que $q$ divise $n$, et on souhaite trouver un couple
$\left(x_0,\:y_0\right)$ d'entiers relatifs tels que
$y_0 = \dfrac{m}{n}x_0 - \dfrac{p}{q}$.
- On pose $n = qr$, où $r$ est un entier relatif non nul.
Démontrer qu'on peut trouver deux entiers relatifs $u$ et $v$ tels que $qru - mv = 1$.Rappel cours
Théorème de Bezout
Les entiers relatifs $a$ et $b$ sont premiers entre eux si et seulement si il existe un couple d'entiers relatifs $(u;v)$ tel que $au+bv=1$Solution
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Infos abonnements - En déduire qu'il existe un couple $\left(x_0,\:y_0\right)$ d'entiers relatifs tels que $y_0 = \dfrac{m}{n} x_0 - \dfrac{p}{q}$.
Solution
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- On pose $n = qr$, où $r$ est un entier relatif non nul.
- Soit $\Delta$ la droite d'équation $y = \dfrac{3}{8} x - \dfrac{7}{4}$.
Cette droite possède-t-elle un point dont les coordonnées sont des entiers relatifs ? Justifier.Aide
Utiliser les questions 1 et 2
Solution
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Infos abonnements - On donne l'algorithme suivant :
- Justifier que cet algorithme se termine pour toute entrée de $M, N, P, Q$, entiers relatifs non nuls tels que pgcd$(M, N)$ = pgcd$(P, Q) = 1$.
Soit $\Delta$ la droite d'équation $y=\frac{M}{N}x-\frac{P}{Q}$.
Solution
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Infos abonnements - Que permet-il d'obtenir ?
Solution
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Infos abonnements
- Justifier que cet algorithme se termine pour toute entrée de $M, N, P, Q$, entiers relatifs non nuls tels que pgcd$(M, N)$ = pgcd$(P, Q) = 1$.
Soit $\Delta$ la droite d'équation $y=\frac{M}{N}x-\frac{P}{Q}$.