Home TERMINALE SPÉCIALITÉ MATHS Chapitre 5 Primitives et équations différentielles séquence 5 exercices de synthèse et devoirs d'entraînement

Justifier une primitive F et étude de la convexité avec ln(u) (réf 1170)

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Contenu

Justifier une primitive

Calculs de dérivées avec ln(u)

Déterminer la primitive vérifiant une condition donnée

Dérivée seconde et étude de la convexité de F

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Interrogation primitives (application directe du cours) (réf1174)
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Fiche méthode recherche de primitives (réf 1176)
méthode

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Vidéo de l’exercice

On considère la fonction $ F $ définie sur $ ] -1 ;+\infty[ $ par $ F(x)=(x+1) ln (x+1)-3 x+7$.
On note $ \mathcal{C} $ la courbe représentative de la fonction $ F $ dans le repère orthonormé.

Montrer que, pour tout réel $ x $, appartenant à l'intervalle $ ] -1 ;+\infty[ $,
$ F $ est une primitive de la fonction $ f(x)=ln (x+1)-2 $.

Rappel cours

Dérivée de $ln(u)$
$\left(ln(u)\right)'=\dfrac{u'}{u}$ avec $u$ dérivable et $u(x)>0$
Formules de dérivation (produit, quotient...)

Aide

Il faut calculer $F'(x)$

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En déduire la primitive $G$ de $f$ s'annulant en $x=1$

Aide

$G(x)=F(x)+C$ et $F(1)=0$

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Calculer $f'(x)$

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En déduire la convexité de la courbe $ \mathcal{C} $

Rappel cours

Signe de la dérivée seconde
Soit $f$ définie et dérivable sur un intervalle I de $\mathbb{R}$
si $f''(x)>0$ sur $I$ alors $f$ est convexe
si $f''(x)<0$ sur $I$ alors $f$ est concave

Aide

$F'(x)=f(x)$ donc $F''(x)=f'(x)$

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