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Théorème de Gauss
Résolution d’un équation diophantienne
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Fiche méthode résolution d’une équation diophantienne (réf 1603)
méthode
Vidéo de l’exercice
- En déduire que l'équation $E$ admet au moins une solution
Rappel cours
corollaire du théorème de Bezout
L'équation $ax+by=c$ admet des solutions entières si et seulement si $c$ est un multiple de PGCD$(a,b)$Solution
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Solution
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Rappel cours
Méthode résolution équation Diophantienne
- Chercher le PGCD$(a,b)=d$ et vérifier que $d$ divise $c$
- diviser tous les coefficients de l'équation par $d$
- On doit alors résoudre $a'x+b'y=c'$ (équation $E'$) avec $a'$ et $b'$ premiers entre eux
- Déterminer une solution particulière de l'équation $E'$ notée $(x_0;y_0)$
- On a alors:
$a'x+b'y=a'x_0+b'y_0\Longleftrightarrow a'(x-x_0)=-b'(y-y_0)$
avec $a'$ et $b'$ premiers entre eux. donc $a'$ divise $y-y_0$ d'après le théorème de Gauss
et donc $y=a'k+y_0$ avec $k\in \mathbb{Z}$
et on remplace $y$ par $a'k+y_0$ dans $E'$Aide
On a $4x+3y=4\times 2+3\times (-2)=2$
Solution
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