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Contenu
Équation cartésienne de la médiatrice d’un segment
Système d’équation et intersection de deux droite
Équation d’un cercle
Ressources associées et exercices semblables
Équation d’un cercle avec un paramètre-famille de cercles (réf 0842)
exercice
- Déterminer une équation de la médiatrice $(d)$ de $[AB]$
Rappel cours
Vecteur normal
Le plan est muni d'un repère orthonormé.
Soit $(d)$ une droite, $\overrightarrow{n}$ est un vecteur normal à $(d)$ si $\overrightarrow{v}$ est orthogonal à tout vecteur directeur de $(d)$.
Si $ax+by+c=0$ est une équation cartésienne de $(d)$ alors$\overrightarrow{n}\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}$ Déterminer une équation cartésienne
Déterminer une équation cartésienne de la droite $(AB)$ avec $A(x_A;y_A)$ et $B(x_B;y_B)$ donnés dans un repère.
Méthode 1
- calculer les coordonnée du vecteur $\overrightarrow{AB}$ vecteur directeur de $(AB)$
- Si le point $M(x;y)$ appartient à $(AB)$, les vecteurs $\overrightarrow{AM}$ et $\overrightarrow{AB}$ sont colinéaires
- $det(\overrightarrow{AM};\overrightarrow{AB})=0$
Méthode 2
- calculer les coordonnée du vecteur $\overrightarrow{AB}$ vecteur directeur de $(AB)$
- Les coordonnées de $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}-b\\a\end{pmatrix}$ donnent les coefficients $a$ et $b$ d'une équation cartésienne
- $(AB)$: $ax+by+c=0$ et $A\in (AB)$ donc $ax_A+by_A+c=0$ (équation d'inconnue $c$)Aide
Calculer les coordonnées du vecteur $ \overrightarrow{AB}$ et du milieu $I$ de $[AB]$
Ultiliser les coordonnées de $I$ pour calculer $c$Solution
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INSCRIPTION - Déterminer une équation de la médiatrice $(d')$ de $[AC]$.
Aide
Calculer les coordonnées du vecteur $ \overrightarrow{AC}$ et du milieu $J$ de $[AC]$
$M(x;y)\in (d')$ si et seulement si $ \overrightarrow{JM}. \overrightarrow{AC}=0$Solution
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INSCRIPTION - Déterminer les coordonnées du centre $ S$ du cercle circonscrit au triangle $ABC$ puis une équation de ce cercle.
Aide
$S$ est le point d'intersection de $(d)$ et $(d')$
Il faut résoudre le système formé avec les équations de $(d)$ et $(d')$Solution
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INSCRIPTION - Soit $K$ le milieu de $[BC]$.
Vérifier que la droite $(KS)$ est perpendiculaire à $(BC)$.Rappel cours
Orthogonalité
Pour tous vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ non nuls, on a:
$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=0 \Longleftrightarrow \overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont orthogonaux.Aide
Calculer les coordonnées des vecteurs $ \overrightarrow{KS}$ et $ \overrightarrow{BC}$
puis $ \overrightarrow{KS}. \overrightarrow{BC}$Solution
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INSCRIPTION - Contrôler les résultats avec GEOGEBRA
Aide
GEOGEBRA
Placer les points $A$, $B$ et $C$
Placer les points $I$ et $J$ (commande milieu) en pointant les sommets du triangle A et B puis A et C
puis tracer (commande droite perpendiculaire) les droites $(d)$ et $(d')$ et placer le point $S$ (commande intersectionde deux objets)
Tracer le cercle de centre S et rayon $SA$ par exemple puis contrôler avec l'équation affichée dans la fenêtre algèbreSolution
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INSCRIPTION