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Contenu
Déterminer une équation paramétrique de droite définie par un point et un vecteur directeur
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Fiche méthode représentation paramétrique d’une droite (réf 1295)
méthode
Dans chaque cas, déterminer une équation paramétrique de la droite $D$ passant par $A$ et de vecteur directeur $\overrightarrow{u}$.
- $A(2;3,-1)$ et $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}
2\\1\\-3
\end{pmatrix}$.
Rappel cours
Représentation paramétrique d'une droite
Dans l'espace muni d'un repère, la droite passant par $A(x_A;y_A;z_A)$ et de vecteur directeur $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}u_1\\u_2\\u_3\end{pmatrix}$ a pour représentation paramétrique $ \begin{cases} x=x_A+tu_1\\ y=y_A+tu_2\\ z=z_A+tu_3 \end{cases}$Aide
$M(x;y;z)$ appartient à la droite $D$ si $\overrightarrow{AM}$ et $\overrightarrow{u}$ sont colinéaires.
Solution
$\begin{cases} x=x_A+tx_{\overrightarrow{u}}=2+2t\\ y=y_A+ty_{\overrightarrow{u}}=3+t\\ z=z_A+tz_{\overrightarrow{u}}=-1-3t \end{cases}$
Remarque
On peut aussi utiliser les vecteurs colinéaires:
Soit $M(x;y;z)$ un point de $D$, les vecteurs $\overrightarrow{AM}$ et $\overrightarrow{u}$ sont colinéaires.
On a donc $\overrightarrow{AM}=t\overrightarrow{u}$ avec $t\in \mathbb{R}$.
$\begin{cases} x_{\overrightarrow{AM}}=x_M-x_A=x-2\\ y_{\overrightarrow{AM}}=y_M-y_A=y-3\\ z_{\overrightarrow{AM}}=z_M-z_A=z-(-1)=z+1 \end{cases}$
donc $\overrightarrow{AM}\begin{pmatrix} x-2\\ y-3\\ z+1 \end{pmatrix} $
$\overrightarrow{AM}=t\overrightarrow{u}\Longleftrightarrow \begin{cases} x-2=2t\\ y-3=t\\ z+1=-3t \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} x=2+2t\\ y=3+t\\ z=-1-3t \end{cases}$ - $A(-2;-3,0)$ et $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}
1\\-1\\-1
\end{pmatrix}$.
Aide
$M(x;y;z)$ appartient à la droite $D$ si $\overrightarrow{AM}$ et $\overrightarrow{u}$ sont colinéaires.
Solution
$\begin{cases} x=x_A+tx_{\overrightarrow{u}}=-2+t\\ y=y_A+ty_{\overrightarrow{u}}=-3-t\\ z=z_A+tz_{\overrightarrow{u}}=0-t \end{cases}$
Remarque
On peut aussi utiliser les vecteurs colinéaires:
Soit $M(x;y;z)$ un point de $D$, les vecteurs $\overrightarrow{AM}$ et $\overrightarrow{u}$ sont colinéaires.
On a donc $\overrightarrow{AM}=t\overrightarrow{u}$ avec $t\in \mathbb{R}$.
$\begin{cases} x_{\overrightarrow{AM}}=x_M-x_A=x-(-2)=x+2\\ y_{\overrightarrow{AM}}=y_M-y_A=y-(-3)=y+3\\ z_{\overrightarrow{AM}}=z_M-z_A=z-0=z \end{cases}$
donc $\overrightarrow{AM}\begin{pmatrix} x+2\\ y+3\\ z \end{pmatrix} $
$\overrightarrow{AM}=t\overrightarrow{u}\Longleftrightarrow \begin{cases} x+2=t\\ y+3=-t\\ z=-t \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} x=-2+t\\ y=-3-t\\ z=-t \end{cases}$