Démontrer que les points $A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés.

Rappel cours

include('/rappels_cours/8/coo_vec.php');

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Il faut vérifier que les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ ne sont pas colinéaires.

Solution

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Soit $\Delta$ la droite passant par le point D et de vecteur directeur $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} 2\\ - 1 \\ 3\end{pmatrix}$.
1. Démontrer que la droite $\Delta$ est orthogonale au plan $(ABC)$.
  
  Rappel cours
  
  include('/rappels_cours/8/pdr_ort.php'); include('/rappels_cours/8/coo_sca.php');
  
  Aide
  
  Il faut vérifier que le vecteur $\overrightarrow{u}$ est orthogonal aux vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$
  
  Solution
  
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2. En déduire une équation cartésienne du plan $(ABC)$.
  
  Rappel cours
  
  include('/rappels_cours/8/equ_car.php');
  
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  On peut utiliser le vecteur $\overrightarrow{u}$ vecteur normal au plan $(ABC)$ et les coordonnées de $A$ pour calculer $d$
  
  Solution
  
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3. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $\Delta$.
  
  Rappel cours
  
  include('/rappels_cours/8/equ_par.php');
  
  Aide
  
  On peut utiliser le vecteur $\overrightarrow{u}$ et le point $D(7;-1;4)$
  
  Solution
  
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4. Déterminer les coordonnées du point $H$, intersection de la droite $\Delta$ et du plan $(ABC)$
  
  Aide
  
  Il faut écrire une équation d'inconnue $t$ en remplaçant dans l'équation de $(ABC)$ les expressions de $x$, $y$ et $z$ données avec la représentation paramétrique de $\Delta$.
  
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Soit $\mathcal{P}_{1}$ le plan d'équation $x + y + z = 0$ et $\mathcal{P}_{2}$ le plan d'équation $x + 4y + 2 = 0$.
1. Démontrer que les plans $\mathcal{P}_{1}$ et $\mathcal{P}_{2}$ sont sécants.
  
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  Il faut vérifier que les deux plans ne sont pas parallèles donc que les vecteurs normaux respectifs de $P_1$ et $P_2$ ne sont pas colinéaires
  
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2. Vérifier que la droite $d$, intersection des plans $\mathcal{P}_{1}$ et $\mathcal{P}_{2}$, a pour représentation paramétrique $\begin{cases} x=-4t-2\\ y =t\\ z = 3t + 2 \end{cases}$ avec $ t \in \mathbb{R}$.
  
  Aide
  
  Les points d'intersection de $P_1$ et $P_2$ vérifient les équations des deux plans.
  On peut exprimer $x$ et $z$ en fonction de $y$ par exemple
  
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3. La droite $d$ et le plan $(ABC)$ sont-ils sécants ou parallèles ?
  
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  Si $d$ est parallèle à $(ABC)$, un vecteur directeur de $d$ est orthogonal à un vecteur normal au plan $(ABC)$
  
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