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Contenu
Produit des diviseurs
Équation diophantienne
Fraction irréductible et théorème de Gauss
Déterminer un couple d’entiers de Bezout
Recherche des points d’une droite de coordonnées entières
Ressources associées et exercices semblables
Devoir PGCD, Bezout et Gauss (ex ancien BAC ) (réf 1600)
devoir
Aide mémoire PGCD, théorèmes de Bezout et de Gauss, nombres premiers (réf 1602)
mémo
Sans faire de division, en déduire que $A$ est divisible par $6$
Rappel cours
corollaire du théorème de Gauss
Si $b$ et $c$ divisent $a$ et PGCD$(b,c)=1$ alors $bc$ divise $a$
Aide
La somme des chiffres doit être divisible par $3$
Solution
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- Justifier que (E) admet des solutions entières
Aide
Il faut déterminer si le PGCD de $13$ et $5$ divise $123$
Solution
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Infos abonnements - Déterminer un couple d'entiers solution de $(E')$: $13x + 5y =1$
Aide
On a $2\times 13=26$ et $5\times 5=25$
Solution
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Infos abonnements - En déduire un couple d'entiers solution particulière de $(E)$
Aide
Il faut muliplier les deux membres de $(E')$ par $123$ dans $13x+5y=1$
Solution
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Infos abonnements - En déduire l'ensemble des solutions de (E) dans $\mathbb{Z}^2$
Rappel cours
Méthode résolution équation Diophantienne
- Chercher le PGCD$(a,b)=d$ et vérifier que $d$ divise $c$
- diviser tous les coefficients de l'équation par $d$
- On doit alors résoudre $a'x+b'y=c'$ (équation $E'$) avec $a'$ et $b'$ premiers entre eux
- Déterminer une solution particulière de l'équation $E'$ notée $(x_0;y_0)$
- On a alors:
$a'x+b'y=a'x_0+b'y_0\Longleftrightarrow a'(x-x_0)=-b'(y-y_0)$
avec $a'$ et $b'$ premiers entre eux. donc $a'$ divise $y-y_0$ d'après le théorème de Gauss
et donc $y=a'k+y_0$ avec $k\in \mathbb{Z}$
et on remplace $y$ par $a'k+y_0$ dans $E'$Aide
On a $13x-5y=13\times 246-5\times 615$
Solution
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- Déterminer les entiers $a$ et $b$ tels que $2n^2-n-2+(an+b)(n+1)=1$
Aide
On peut développer $2n^2-n-2+(an+b)(n+1)$ et déterminer les valeurs de $a$ et $b$ permettant "d'éliminer" $n$
Solution
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Infos abonnements - En déduire que la fraction $\dfrac{2n^2-n-2}{n+1}$ est irréductible pour tout entier $n\neq -1$.
Rappel cours
Théorème de Bezout
Les entiers relatifs $a$ et $b$ sont premiers entre eux si et seulement si il existe un couple d'entiers relatifs $(u;v)$ tel que $au+bv=1$Solution
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- Déterminer PGCD$(202,138)$.
Rappel cours
Algorithme d'Euclide
Soient $a$ et $b$ deux entiers naturels non nuls tels que $aSolution
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Infos abonnements - En déduire un couple d'entiers relatifs $(u;v)$ tels que $202u + 138v =2$
Aide
Il faut isoler les restes dans l'algorithme d'Euclide
Solution
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Existe-t-il des points de la droite de coordonnées entières?
Si oui, déterminer tous les points de la droite de coordonnées entières.
Aide
On doit résoudre $7x-5y=4$ dans $\mathbb{Z}^2$
Solution
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