Envoyez votre messageInfos
Vous devez être inscrit pour accéder à ces informations.
Ceci vous permet de visualiser les ressources déjà vues et marquer à revoir celles qui nécessitent d'être retravaillées.
Contenu
Th de Gauss
Nombres premiers
Congruences
Nombres de Mersenne et algorithme de test
Ressources associées et exercices semblables
PGCD, congruences et suites, exercice ancien BAC S (réf 1595)
exercice
Équation diophantienne (extrait ancien BAC S) (réf 1596)
exercice
- On désigne par $a$, $b$ et $c$ trois entiers naturels non nuls tels que PGCD$(b~;~c) = 1$.
Prouver, à l'aide du théorème de Gauss, que si $b$ divise $a$ et $c$ divise $a$ alors le produit $bc$ divise $a$.Rappel cours
Théorème de Gauss
Soient $a$, $b$ et $c$ trois entiers relatifs non nuls.
Si $a$ divise $bc$ et PGCD$(a,b)=1$ alors $a$ divise $c$.Aide
On a donc $a=kb=k'c$ avec $b$ et $c$ premiers entre eux....
Solution
Vous devez être inscrit pour accéder à ce contenu gratuitement!
INSCRIPTION - On considère le nombre de Mersenne $2^{33} - 1$.
Un élève utilise sa calculatrice et obtient les résultats ci-dessous.
Il affirme que 3 divise $\left(2^{33} - 1 \right)$ et 4 divise $\left(2^{33} - 1 \right)$ et 12 ne divise pas $\left(2^{33} - 1 \right)$.- En quoi cette affirmation contredit-elle le résultat démontré à la question 1 ?
Aide
Utiliser la question 1 avec $b=3$ et $c=4$
Solution
Vous devez être inscrit pour accéder à ce contenu gratuitement!
INSCRIPTION - Justifier que, en réalité, 4 ne divise pas $\left(2^{33} - 1 \right)$.
Solution
Vous devez être inscrit pour accéder à ce contenu gratuitement!
INSCRIPTION - En remarquant que $2 \equiv - 1\quad [3]$, montrer que, en réalité, 3 ne divise pas $2^{33} - 1$.
Solution
Vous devez être inscrit pour accéder à ce contenu gratuitement!
INSCRIPTION - Calculer la somme $S = 1+2^3 + \left(2^3\right)^2 + \left(2^3\right)^3 + \cdots + \left(2^3\right)^{10}$.
Rappel cours
Somme des termes d'une suite géométrique
La somme $S$ des termes consécutifs d'une suite géométrique de raison $q\neq 1$ est donnée par:
$S=u_0 \dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}$
Mémo: $S=$premier terme $ \dfrac{1-q^{\text{nombre de termes}}}{1-q}$Aide
On peut utliser la suite géométrique de premier terme $u_0=1$ et raiosn $q=2^3$
Solution
Vous devez être inscrit pour accéder à ce contenu gratuitement!
INSCRIPTION - En déduire que 7 divise $2^{33} - 1$.
Aide
$S$ est une somme d'entiers naturels donc est un entier naturel
Solution
Vous devez être inscrit pour accéder à ce contenu gratuitement!
INSCRIPTION
- En quoi cette affirmation contredit-elle le résultat démontré à la question 1 ?
- On considère le nombre de Mersenne $2^7 - 1$.
Est-il premier ? Justifier.Aide
Il faut tester les divisions de $127$ par les entiers impairs compris entre $2$ et $\sqrt{127}$
Solution
Vous devez être inscrit pour accéder à ce contenu gratuitement!
INSCRIPTION - On donne l'algorithme suivant où MOD$(N,~k)$ représente le reste de la division euclidienne de $N$ par $k$.
- Qu'affiche cet algorithme si on saisit $n = 33$ ? Et si on saisit $n = 7$ ?
Solution
Vous devez être inscrit pour accéder à ce contenu gratuitement!
INSCRIPTION - Que représente le CAS 2 pour le nombre de Mersenne étudié ?
Que représente alors le nombre $k$ affiché pour le nombre de Mersenne étudié ?Solution
Vous devez être inscrit pour accéder à ce contenu gratuitement!
INSCRIPTION - Que représente le CAS 1 pour le nombre de Mersenne étudié ?
Solution
Vous devez être inscrit pour accéder à ce contenu gratuitement!
INSCRIPTION
- Qu'affiche cet algorithme si on saisit $n = 33$ ? Et si on saisit $n = 7$ ?