La droite $(d)$ a pour équation $4x-3y+6=0$.
Tracer $(d)$.

Rappel cours

Vecteur directeur dans un repère
Dans un repère du plan, la droite $(d)$ a pour équation cartésienne $ax+by+c=0$ alors $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}-b\\a\end{pmatrix}$ est un vecteur directeur de $(d)$.
Si $(d)$ est définie par son équation réduite $y=ax+b$, $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}1\\a\end{pmatrix}$ est un vecteur directeur de $(d)$.

Aide

Déterminer les coordonnées d'un vecteur $\overrightarrow{u}$ vecteur directeur de la droite $(d)$
Déterminer les coordonnées d'un point de la droite

Solution

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Déterminer une équation cartésienne de la droite $(d')$ parallèle à $(d)$ et passant par $A(4;2)$.

Rappel cours

Droites parallèles
Deux droites parallèles ont des vecteurs directeurs colinéaires (ayant la même direction)

Aide

Un vecteur directeur de $(d)$ est aussi un vecteur directeur de $(d')$

Solution

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Déterminer une équation de la droite $(d'')$ perpendiculaire à $(d)$ passant par $B(7;3)$.

Rappel cours

Produit scalaire dans un repère orthonormé
Dans un repère orthonormé, si $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{v}\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}$ on a:
$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=xx'+yy'$

Orthogonalité
Pour tous vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ non nuls, on a:
$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=0 \Longleftrightarrow \overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont orthogonaux.
Vecteur normal
Le plan est muni d'un repère orthonormé.
Soit $(d)$ une droite, $\overrightarrow{n}$ est un vecteur normal à $(d)$ si $\overrightarrow{v}$ est orthogonal à tout vecteur directeur de $(d)$.
Si $ax+by+c=0$ est une équation cartésienne de $(d)$ alors$\overrightarrow{n}\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}$

Aide

$\overrightarrow{u}$ est un vecteur normal à la droite $(d'')$

Solution

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Déterminer les coordonnées du point d'intersection $C$ de $(d)$ et de $(d'')$.

Aide

il faut résoudre les système formé avec les deux équations de droites

Solution

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Déterminer une équation du cercle de centre $A$ passant par $C$.
Le point $B$ appartient-il à ce cercle?

Rappel cours

Distance dans un repère
Dans un repère orthonormé du plan, on a $A(x_A;y_A)$ et $B(x_B;y_B)$,
$AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$
Si $\overrightarrow{u}(x;y)$ alors $||\overrightarrow{u}||=\sqrt{x^2+y^2}$ Équation d'un cercle
Dans un repère orthonormé, le cercle de centre $C(x_C;y_C)$ et de rayon $r$ a pour équation $(x-x_C)^2+(y-y_C)^2=r^2$

Aide

Il faut calculer la longueur du rayon $[AC]$

Solution

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