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Contenu
Représentation paramétrique d’un droite
Vecteur normal et équation d’un plan
Intersection droite plan et distance point-plan
Calculs de volumes (tétraèdre et cône)
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Exercice BAC droites et plans de l’espace dans un repère orthonormé (réf 1286)
exercice
Exercice BAC 2023 droites et plans dans un repère de l’espace (réf 1289)
exercice
Fiche méthode représentation paramétrique d’une droite (réf 1295)
méthode
On appelle $I$ le point d'intersection du plan $(GBD)$ avec la droite $(EC)$.
L'espace est rapporté au repère orthonormé $\left(A~;~\overrightarrow{AB},~\overrightarrow{AD},~\overrightarrow{AE}\right)$.
- Donner dans ce repère les coordonnées des points $E$, $C$, $G$.
Aide
L'axe des abscisses est l'axe $(AB)$ avec $B(1;0;0)$, l'axe des ordonnées $(AD)$ avec $D(0;1;0)$ et l'axe des côtes $(AE)$ avec $E(0;0;1)$
Solution
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Infos abonnements - Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(EC)$.
Rappel cours
Représentation paramétrique d'une droite
Dans l'espace muni d'un repère, la droite passant par $A(x_A;y_A;z_A)$ et de vecteur directeur $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}u_1\\u_2\\u_3\end{pmatrix}$ a pour représentation paramétrique $ \begin{cases} x=x_A+tu_1\\ y=y_A+tu_2\\ z=z_A+tu_3 \end{cases}$Solution
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Infos abonnements - Démontrer que la droite $(EC)$ est orthogonale au plan $(GBD)$.
Rappel cours
Produit scalaire dans un repère orthonormé de l'espace
Dans un repère orthonormé de l'espace, on a les vecteurs $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{v}\begin{pmatrix} x'\\ y'\\ z' \end{pmatrix}$.
$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=xx'+yy'+zz'$Aide
Il faut montrer que le vecteur $\overrightarrow{EC}$ est orthogonal à deux vecteurs directeurs non colinéaires de $(GBD)$
Solution
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- Justifier qu'une équation cartésienne du plan $(GBD)$ est : $x + y - z - 1 = 0$.
Rappel cours
Vecteur normal à un plan-équation cartésienne d'un plan
Dans l'espace muni d'un repère othonormé, $P$ est un plan de l'espace, un vecteur $\overrightarrow{n}$ normal à $P$ est un vecteur directeur d'une droite orthogonale à $P$.
Le vecteur $\overrightarrow{n}$ est un vecteur normal au plan $P$ passant par $A$ et $P$ est l'ensemble des points $M(x;y;z)$ vérifiant $\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{n}=0$.
$ax+by+cz+d=0$ est une équation cartésienne de $P$ de vecteur normal $\overrightarrow{n}\begin{pmatrix} a\\ b\\ c \end{pmatrix}$Aide
$(EC)$ est orthogonale au plan $(GBD)$ donc $\overrightarrow{EC}$ est un vecteur normal au plan $(GBD)$
Solution
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Infos abonnements - Montrer que le point $I$ a pour coordonnées $\left(\dfrac{2}{3}~;~\dfrac{2}{3}~;~ \dfrac{1}{3}\right)$.
Solution
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Infos abonnements - En déduire que la distance du point $E$ au plan $(GBD)$ est égale à $\dfrac{2\sqrt 3}{3}$.
Rappel cours
Distance dans l'espace
Si le repère de l'espace est orthonormé, la distance $AB$ est: $AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}$Aide
La distance entre $E$ et $(GBD)$ est la distance $EI$
Solution
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- Justifier qu'une équation cartésienne du plan $(GBD)$ est : $x + y - z - 1 = 0$.
-
- Démontrer que le triangle $BDG$ est équilatéral.
Aide
Les côtés de ce triangle sont les diagonales des carrés des faces du cube
Solution
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Infos abonnements - Calculer l'aire du triangle $BDG$.
On pourra utiliser le point $J$, milieu du segment $[BD]$.Aide
Il faut calculer une hauteur du triangle équilatéral
Solution
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- Démontrer que le triangle $BDG$ est équilatéral.
- Justifier que le volume du tétraèdre $EGBD$ est égal à $\dfrac{1}{3}$
On rappelle que le volume d'un tétraèdre est donné par $V = \dfrac{1}{3} B\times h$ où $B$ est l'aire d'une base du tétraèdre et $h$ est la hauteur relative à cette base.Solution
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On considère les points $A(3~;~0~;~1)$, $B(2~;~1~;~2)$ et $C(- 2~;~- 5~;~1)$.
- Démontrer que les points $A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés.
Rappel cours
Coordonnées d'un vecteur dans l'espace
L'espace est muni d'un repère quelconque.
Soit $A(x_A;y_A;z_A)$ et $B(x_B;y_B;z_B)$
$\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} x_B-x_A\\ y_B-y_A\\ z_B-z_A \end{pmatrix} $Aide
Il faut montrer que les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ par exemple ne sont pas colinéaires, autrement dit qu'il n´existe pas de réel $k$ tel que $k\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}$
Solution
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Infos abonnements - Démontrer que le triangle $ABC$ est rectangle en $A$.
Rappel cours
Produit scalaire dans un repère orthonormé de l'espace
Dans un repère orthonormé de l'espace, on a les vecteurs $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{v}\begin{pmatrix} x'\\ y'\\ z' \end{pmatrix}$.
$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=xx'+yy'+zz'$Solution
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Infos abonnements - Vérifier que le plan $(ABC)$ a pour équation cartésienne $-x + y - 2z + 5 = 0$.
Aide
Il suffit de vérifier que les coordonnées des trois points $A$, $B$ et $C$ vérifient l'équation donnée
Solution
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Infos abonnements - On considère le point $S(1~;~-2~;~4)$.
Déterminer la représentation paramétrique de la droite ($\Delta$), passant par $S$ et orthogonale au plan $(ABC)$.Rappel cours
Vecteur normal à un plan-équation cartésienne d'un plan
Dans l'espace muni d'un repère othonormé, $P$ est un plan de l'espace, un vecteur $\overrightarrow{n}$ normal à $P$ est un vecteur directeur d'une droite orthogonale à $P$.
Le vecteur $\overrightarrow{n}$ est un vecteur normal au plan $P$ passant par $A$ et $P$ est l'ensemble des points $M(x;y;z)$ vérifiant $\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{n}=0$.
$ax+by+cz+d=0$ est une équation cartésienne de $P$ de vecteur normal $\overrightarrow{n}\begin{pmatrix} a\\ b\\ c \end{pmatrix}$
Représentation paramétrique d'une droite
Dans l'espace muni d'un repère, la droite passant par $A(x_A;y_A;z_A)$ et de vecteur directeur $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}u_1\\u_2\\u_3\end{pmatrix}$ a pour représentation paramétrique $ \begin{cases} x=x_A+tu_1\\ y=y_A+tu_2\\ z=z_A+tu_3 \end{cases}$Aide
$(\Delta)$ est orthogonale au plan $(ABC)$ donc un vecteur normal à ce plan est un vecteur directeur de $(\Delta)$
Solution
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Infos abonnements - On appelle $H$ le point d'intersection de la droite ($\Delta$) et du plan $(ABC)$.
Montrer que les coordonnées de $H$ sont $(0~;~-1~;~2)$.Aide
Il faut remplacer les expressions de $x$, $y$ et $z$ en fonction de $t$ dans l'équation du plan pour déterminer la valeur de $t$
Solution
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Infos abonnements - Calculer la valeur exacte de la distance $SH$.
Rappel cours
Distance dans l'espace
Si le repère de l'espace est orthonormé, la distance $AB$ est: $AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}$Solution
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Infos abonnements - On considère le cercle $\mathcal{C}$, inclus dans le plan $(ABC)$, de centre $H$, passant par le
point $B$. On appelle $\mathcal{D}$ le disque délimité par le cercle $\mathcal{C}$.
Déterminer la valeur exacte de l'aire du disque $\mathcal{D}$.Rappel cours
Aire d'un disque
L'aire d'un disque de rayon $r$ est $A=\pi\times r^2$Solution
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Infos abonnements - En déduire la valeur exacte du volume du cône de sommet $S$ et de base le disque $\mathcal{D}$.
Rappel cours
Volume d'un cône
Le cône dont le disque de base à une aire de $\mathcal{A}$ et une hauteur $h$ a pour volume $V=\dfrac{1}{3}\mathcal{A}\times h$Solution
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