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Contenu
Ex type BAC (ancien bac)
Forme trigonométrique
Affixe d’un vecteur
Ensemble de points avec un module constant
Ressources associées et exercices semblables
Ensemble de points et quotient de deux complexes (réf 1460)
exercice
- On note $a=3-3i$ et $b=-a$.
- Ecrire $b$ sous forme exponentielle.
Rappel cours
Forme trigonométrique
Soit $z=x+iY$ un complexe.
Le module de $z$ noté $|z|$ est $|z|=OM=\sqrt{x^2+y^2}$.
Si $z\neq 0$ l'argument de $z$ noté $arg(z)$ est une mesure en radians de l'angle $(\overrightarrow{i};\overrightarrow{OM})$}
On a alors $x=|z|cos(arg(z))$ et $y=|z|sin(arg(z))$ soit $z=|z|(cos(arg(z)+isin(arg(z))$
Cette forme est appelée forme trigonométrique} de $z$.
Forme exponentielle
$z$ est un complexe d'argument $\alpha$
La forme exponentielle de $z$ est $z=|z|e^{i\alpha}$Aide
Il faut calculer $|b|$ et on a $cos(arg(b))=\dfrac{-3}{|b|}$ et $sin(arg(b))=\dfrac{3}{|b|}$
Solution
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Infos abonnements - Déterminer l'affixe $c$ du point $C$ tel que $OB=OC$ et $(\overrightarrow{OB};\overrightarrow{OC})=\dfrac{\pi}{2}$ ($2\pi$).
Aide
$OB=|b|$ et $(\overrightarrow{OB};\overrightarrow{OC})=arg\left(\dfrac{c}{b}\right)=arg(c)-arg(b)$
Solution
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Infos abonnements - Déterminer l'affixe $d$ du point $D$ tel que $ABCD$ soit un parallélogramme.
Aide
Les affixes des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{DC}$ doivent être égales.
Solution
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Infos abonnements
- Ecrire $b$ sous forme exponentielle.
- On veut déterminer l'ensemble $\mathcal{E}$ des points $M$ tels que $||\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}||=2BD$.
- Montrer que $D$ appartient à $\mathcal{E}$.
Aide
ABCD parallélogramme donc $\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{DB}$
Solution
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Infos abonnements - On note $z$ l'affixe de $M$.
Montrer que $M\in \mathcal{E} \Longleftrightarrow |z+1+i|=4\sqrt{5}$
En déduire la nature de $\mathcal{E}$.Aide
L'affixe du vecteur $\overrightarrow{MA}$ est $z-a$
Il faut donc calculer le module de $z-a+z-b+z-c$Solution
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- Montrer que $D$ appartient à $\mathcal{E}$.