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Contenu
Graphe probabiliste à deux états et matrice de transition
Suites arithméticogéométriques
Limite d’une suite
Recherche de l’état stable
Ressources associées et exercices semblables
Graphe probabiliste (BAC ES 2019) (réf 1665)
exercice
S'il ne va pas se baigner un jour, la probabilité qu'il aille se baigner le lendemain est de $0,9$.
Le premier jour de ses vacances, Alex va se baigner.
$n$ étant un entier naturel non nul, on note :
$a_{n}$ la probabilité qu'Alex n'aille pas se baigner le $n$-ième jour.
$b_{n}$ la probabilité qu'Alex aille se baigner le $n$-ième jour.
$P_{n} = \begin{pmatrix} a_n&b_n \end{pmatrix}$ la matrice ligne traduisant l'état probabiliste le $n$-ième jour.
- Représenter la situation par un graphe probabiliste de sommets A et B (B représentant l'état " Alex va se baigner ").
Aide
S'il va se baigner un jour, la probabilité qu'il aille se baigner le lendemain est de $0,7$, c'est à dire de passer de l'état B à l'état B
Solution
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Infos abonnements - Donner la matrice $M$ de transition associée à ce graphe et l'état initial.
Rappel cours
Matrice de transition d'un graphe probabiliste
La matrice de transition d'une chaîne de Markov à $n$ états est une matrice carrée $M=(m_{ij})$ d'ordre $n$ telle que $m_{ij}$ est le poids de l'arête allant du sommet $S_i$ au sommet $S_j$.Aide
Le coefficient de la première ligne et de la deuxième colonne est la probabilité de passer de l'état A à l'état B
Solution
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Infos abonnements - Montrer que pour tout entier $n$ non nul, $b_{n+1} = 0,9a_{n} + 0,7 b_{n}$.
Aide
Calculer $P_{n}\times M$ et on a $E_{n+1}=\begin{pmatrix}a_{n+1}&b_{n+1} \end{pmatrix}$
Solution
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Infos abonnements - En déduire que : $b_{n+1} = - 0,2b_{n} + 0,9$.
Aide
On a $a_n+b_n=1$ donc $a_n=1-b_n$ que l'on peut remplacer dans l'égalité de la question précédente.
Solution
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Infos abonnements - On considère la suite $(u_n)$ définie pour tout entier $n$ non nul par $u_{n} = b_{n} - 0,75$.
Montrer que $(u_n)$ est une suite géométrique de raison $- 0,2$ ; on précisera son premier terme.Rappel cours
Suite géométrique
Une suite $(u_n)$ est géométrique s'il existe un réel $q$ tel que pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=u_n\times q$
$q$ est la raison de la suite.
Le quotient de deux termes consécutifs est égal à la raison soit $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=q$ Forme explicite d'une suite géométrique
Si $(u_n)$ est géométrique de raison $q$ est premier terme $u_0$, on a:
$u_n=u_0\times q^n$
et pour tous entiers $n$ et $p$, $u_n=u_p\times q^{n-p}$Aide
$u_{n+1}=b_{n+1}-0,75=-0,2b_n+0,9-0,75$...
Solution
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Infos abonnements - En déduire l'expression de $u_n$ puis de $b_n$ en fonction de $n$.
Rappel cours
include('/rappels_cours/1/exp_geo.php');
Aide
Le premier terme de la suite $(u_n)$ est $u_1$fat
On a $u_n=b_n-0,75$ donc $b_n=u_n+0,75$Solution
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Infos abonnements - Quelle est la probabilité qu'il aille se baigner le 5ième jour de ses vacances ?
Aide
On veut calculer $b_{5}$
Solution
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Infos abonnements - Déterminer la limite de la suite $(b_n)$.
Rappel cours
Limite de $q^n$
$\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty}q^n=0$ pour $-1< q < 1$
Si $q> 1 $ alors $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty}q^n=+\infty$Solution
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Infos abonnements - Retrouver l'état stable en utilisant la matrice de transition.
Rappel cours
État stable ou chaîne de Markov stationnaire
On dit qu'une distribution $E$, représentée à l'aide d'une matrice ligne, est stationnaire pour une chaîne de Markov dont la matrice de transition est $M$ si $E=E\times M$.Solution
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