Une étude est réalisée chaque hiver sur une population composée de personnes qui peuvent pratiquer le ski de piste ou le snowboard.
L'étude révèle que :
Si une personne pratique le ski de piste, alors la probabilité qu'elle pratique le snowboard l'hiver suivant est égale à $0,2$.
Si une personne pratique le snowboard, alors la probabilité qu'elle pratique le ski de piste l'hiver suivant est égale à $0,3$.
On note $S$ l'état :"la personne pratique le ski de piste" et $\overline{S}$ l'état : "la personne pratique le snowboard".
On note également pour tout entier naturel $n$ :
$p_{n}$ la probabilité qu'une personne pratique le ski de piste lors du $n$-ième hiver ;
$q_{n}$ la probabilité qu'une personne pratique le snowboard lors du $n$-ième hiver;
$P_{n} = \left(p_{n}\quad q_{n}\right)$ la matrice ligne donnant l'état probabiliste du système lors du $n$-ième hiver.
On suppose que la population initiale ne comporte que des personnes pratiquant le ski de piste, on a donc $P_{0} = (1\quad 0)$.
Partie A

1. Représenter la situation à l'aide d'un graphe probabiliste de sommets $S$ et $\overline{S}$.
   Aide

   La probabilité de passer de $S$ à $\overline S$ de $0,2$ et la probabilité de passer de $\overline S$ à $S$ de $0,3$

   Solution

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2. Donner la matrice de transition $M$ de ce graphe probabiliste.
   Rappel cours

   Matrice de transition d'un graphe probabiliste
   La matrice de transition d'une chaîne de Markov à $n$ états est une matrice carrée $M=(m_{ij})$ d'ordre $n$ telle que $m_{ij}$ est le poids de l'arête allant du sommet $S_i$ au sommet $S_j$.

   Solution

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3. Calculer $M^2$.
   Solution

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4. Déterminer l'état probabiliste $P_{2}$.
   Aide

   $P_2=P_0\times M^2$

   Solution

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5. Montrer que pour tout entier naturel $n$, on a $p_{n+1} = 0,5 p_{n} + 0,3$.
   Aide

   On a $P_{n+1}=\begin{pmatrix}p_{n+1}&q_{n+1}\end{pmatrix}=P_n\times M$ et $p_{n}+q_{n}=1$

   Solution

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6. On considère l'algorithme suivant :
   
   Recopier et compléter la ligne 6 de cet algorithme afin d'obtenir la probabilité $p_{N}$.
   Aide

   On a $p_{n+1} =0,5p_n+0,3$

   Solution

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Partie B
On considère, pour tout entier naturel $n$, l'évènement $S_{n}$ : "la personne pratique le ski de piste lors du $n$-ième hiver".
La probabilité de l'évènement $S_{n}$ est notée $p\left(S_{n}\right)$. On a donc $p_{n} = p\left(S_{n}\right)$.
On sait d'après la partie A que pour tout entier naturel $n$:
$p_{n+1} = 0,5p_{n} + 0,3$.
Soit la suite $\left(u_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $u_{n} = p_{n} - 0,6$.

1. Démontrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison $0,5$ et préciser la valeur de $u_{0}$.
   Rappel cours

   Suite géométrique
   Une suite $(u_n)$ est géométrique s'il existe un réel $q$ tel que pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=u_n\times q$
   $q$ est la raison de la suite.
   Le quotient de deux termes consécutifs est égal à la raison soit $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=q$

   Aide

   u_{n+1}=p_{n+1}-0,6=0,5p_n+0,3-0,6$ et $p_n=u_n+0,6$

   Solution

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2. En déduire l'expression de $u_{n}$ en fonction de $n$ puis l'expression de $p_{n}$ en fonction de $n$.
   Rappel cours

   Forme explicite d'une suite géométrique
   Si $(u_n)$ est géométrique de raison $q$ est premier terme $u_0$, on a:
   $u_n=u_0\times q^n$
   et pour tous entiers $n$ et $p$, $u_n=u_p\times q^{n-p}$

   Solution

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3. Déterminer la limite de la suite $\left(p_{n}\right)$ et interpréter le résultat.
   Rappel cours

   Limite de $q^n$
   $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty}q^n=0$ pour $-1< q < 1$
   Si $q> 1 $ alors $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty}q^n=+\infty$

   Solution

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Partie C
Une partie du domaine skiable est représentée par le graphe ci-dessous. l Le sommet A représente le haut des pistes de ski et le sommet I en représente le bas.
Les sommets B, C, D, E, F, G et H représentent des points de passages.
Chacune des arêtes est pondérée par la distance, en centaine de mètres, entre deux sommets.

Déterminer la distance minimale permettant de relier le sommet A au sommet I à l'aide de l'algorithme de Dijkstra.