Les clients d'un restaurant sont des habitués qui y déjeunent tous les jours.
En septembre 2018, le restaurateur propose trois nouveaux plats: plat A, plat B et plat C.
D'un jour à l'autre, il constate que:}
- Parmi les clients ayant choisi le plat A: $30$% reprennent le plat A le lendemain, $50%$ prennent le plat B le lendemain.
- Parmi les clients ayant choisi le plat B: $30$% reprennent le plat B le lendemain, $60%$ prennent le plat A le lendemain.
- Parmi les clients ayant choisi le plat C: $35$% prennent le plat A le lendemain, $45$% prennent le plat B le lendemain.
On note pour tout entier $n$ non nul:
$a_n$ la proportion de clients ayant choisi le plat A le $n$-ième jour;
$b_n$ la proportion de clients ayant choisi le plat B le $n$-ième jour;
$c_n$ la proportion de clients ayant choisi le plat C le $n$-ième jour.
Pour tout entier $n\geq 1$, on note $P_n=\begin{pmatrix} a_n & b_n & c_n \end{pmatrix}$ l'état probabiliste le $n$-ième jour.

1. Représenter cette situation par un graphe probabiliste.
   Rappel cours

   Graphe probabiliste
   Un graphe probabiliste est un graphe pondéré et la somme des coefficients des arêtes partant d'un sommet est égale à 1.

   Aide

   Parmi les clients ayant choisi le plat A: $30$% reprennent le plat A le lendemain donc le coefficientde A vers A est $0,3$...

   Solution

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2. Donner la matrice de transition $M$ de ce graphe, en respectant l'ordre alphabétique des sommets.
   Rappel cours

   Matrice de transition d'un graphe probabiliste
   La matrice de transition d'une chaîne de Markov à $n$ états est une matrice carrée $M=(m_{ij})$ d'ordre $n$ telle que $m_{ij}$ est le poids de l'arête allant du sommet $S_i$ au sommet $S_j$.

   Aide

   $M$ est une matrice carrée d'ordre 3

   Solution

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3. Le restaurateur a noté que le premier jour $35,5$% des clients ont pris le plat A, $40,5$% ont pris le plat B et $24$% ont pris le plat C.
   Calculer $P_2$.
   Aide

   On doit déterminer $P_1$ et calculer $P_2=P_1\times M$

   Solution

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4. Le restaurateur affirme que le douzième jour, la proportion de clients qui choisiront le plat C sera à peu près la même que le treizième jour, soit environ $15,9$%.
   A-t-il raison? Justifier.
   Aide

   Le premier terme est $P_1$ d'indice 1
   Il faut calculer $p_{12}$ et $P_{13}$

   Solution

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Partie 2
Pour le dîner, le restaurateur décide de proposer des livraisons à domicile. Il fait un essai avec huit clients.
Sur le graphe ci-dessous, les sommets représentent les différents lieux d'habitation de ces huit clients. Les arêtes représentent les rues et les valeurs indiquent les durées moyennes des trajets exprimées en minutes.

1. Répondre aux questions suivantes en justifiant.
   1. Existe-t-il un parcours qui emprunte toutes les rues une et une seule fois?
      Rappel cours

      Graphe connexe
      Un graphe connexe est un graphe non orienté dans lequel il existe un chemin entre chaque paire de sommets.
      Chaîne eulérienne
      Une chaîne eulérienne est une chaîne sur le graphe utilisant toutes les arêtes une et une seule fois.
      existence d'une chaîne eulérienne
      Un graphe connexe admet une chaîne eulérienne si et seulement si ses sommets sont tous de degré pair sauf deux d'entre eux.
      Cycle eulérien
      Un cycle eulérien est une chaîne fermée sur le graphe utilisant toutes es arêtes une et une seule fois.
      existence d'un cycle eulérien
      Un graphe connexe admet un cycle eulérien si et seulement si ses sommets sont tous de degré pair.

      Aide

      Il faut chercher s'il existe des chaînes ou cycles eulériens
      Pour justifier que le graphe est connexe, il suffit de trouver une chaîne passant par tous les sommets

      Solution

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   2. Un tel parcours peut-il partir de H$_1$ et y revenir?
      Solution

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   3. En utilisant l'algorithme de Dijkstra, déterminer le temps minimal pour aller de H$_4$ vers H$_8$.
      Préciser le trajet correspondant.
      Solution

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