Forme explicite d'une suite arithmétique
Si $(u_n)$ est arithmétique de raison $r$ est premier terme $u_0$, on a:
$u_n=u_0+nr$ et pour tous entiers $n$ et $p$, $u_n=u_p+(n-p)r$
Attention, si le premier terme de la suite est $u_1$ par exemple, on a alors $u_n=u_1+(n-1)r$

On ajoute $r=-2$ pour obtenir le terme suivant.

$(u_n)$ est une suite arithmétique de raison $r=-2$ donc $u_{n+1}=u_n-2$
$u_1=u_0-2=3-2=1$
$u_2=u_1-2=1-2=-1$
$u_1=1$ et $u_2=-1$
$u_n=u_0+n\times r=3-2n$
$u_n=3-2n$

Forme explicite d'une suite géométrique
Si $(u_n)$ est géométrique de raison $q$ est premier terme $u_0$, on a:
$u_n=u_0\times q^n$
et pour tous entiers $n$ et $p$, $u_n=u_p\times q^{n-p}$

On multiplie par $q=3$ pour obtenir le terme suivant.

$(v_n)$ est une suite géométrique de raison $q=3$ donc $v_{n+1}=v_n\times 3$
$v_1=v_0\times 3=2\times 3=6$
$v_2=v_1\times 3=6\times 3=18$
$v_1=6$ et $v_2=18$
$v_n=v_0\times q^n=2\times 3^n$
$v_n=2\times 3^n$

Il faut utiliser le fait que pour passer de $w_8$ à $w_{14}$ il faut ajouter $14-8=6$ fois la raison.

$w_{14}=w_8+(14-8)\times r \Longleftrightarrow 40=25+6r$
$\phantom{w_{14}=w_8+(14-8)\times r} \Longleftrightarrow 15=6r$
$\phantom{w_{14}=w_8+(14-8)\times r} \Longleftrightarrow r=\dfrac{15}{6}$
$\phantom{w_{14}=w_8+(14-8)\times r} \Longleftrightarrow r=\dfrac{5}{2}$
La raison de la suite $(w_n)$ est $r=\dfrac{5}{2}$.
On a alors $w_n=w_8+(n-8)r$
$w_n=25+(n-8)\times \dfrac{5}{2}$
$\phantom{w_n}=25+n\times \dfrac{5}{2}-20$
$\phantom{w_n}=5+n\times \dfrac{5}{2}$
$w_n=5+n\times \dfrac{5}{2}$

$p_n$ représente la quantité d'ordinateurs en $2013+n$ et on a $n=0$
la quantité est en centaines

$p_0$ représente la quantité, en centaines, d'ordinateurs fabriqués en $2013+0=2013$.
En 2013, 23400 ordinateurs ont été fabriqués soit 234 centaines.
donc $p_0=234$

Coefficient multiplicateur
Une quantité $V_i$ à laquelle on applique un taux d'évolution $t$ est multipliée par $k=1+t$.
Rappel: $t=\dfrac{V_f-V_i}{V_i}$

Chaque année, la quantité produite augmente de 2% et est donc multipliée par $1+\dfrac{2}{100}$

Augmenter une valeur de 2% revient à appliquer le coefficient multiplicateur $1+\dfrac{2}{100}$
donc $p_1=234\times 1,02=238,68$.
En 2014, on a fabriqué $p_1=238,68$ centaines d'ordinateurs soit 23868.

Suite géométrique
Une suite $(u_n)$ est géométrique s'il existe un réel $q$ tel que pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=u_n\times q$
$q$ est la raison de la suite.
Le quotient de deux termes consécutifs est égal à la raison soit $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=q$

Il faut montrer que pour tout entier naturel $n$, $p_{n+1}=qp_n$

Chaque année, on multiplie la production par 1,02 donc $p_{n+1}=1,1p_n$
donc $(p_n)$ est une suite géométrique de raison $q=1,02$.
On a aussi $p_0=234$ donc $p_n=p_0\times q^n=234\times 1,02^n$
$p_n=234\times 1,02^n$

$2020=2013+7$ donc on a $n=7$

$2013+7=2020$ donc la quantité produite en 2020 correspond à $p_7$.
$p_7=234\times 1,02^7\approx 268,792$
Il faut arrondir à l'unité soit $p_7$ aux centièmes
donc la quantité produite en 2020 est de $p_7\approx 268,79$ centaines d'ordinateurs soit 26879 ordinateurs.

On peut utiliser la calculatrice menu suites ou bien le menu TABLE.

CASIO: avec le menu RECUR de la calculatrice et type $a_{n}$ saisir l'expression de la suite puis dans SET paramétrer le début des indices et la fin
TI Premium: MODE puis surligner SUITES (4ième ligne) puis $ f(x)$.
Saisir $n_{min}=0$, $U(n)$ puis TABLE pour afficher les résultats
NumWorks: MENU SUITES puis Ajouter et sélectionner $u_{n}$
puis saisir $u_n$
On obtient $p_{12}\approx 296,8$ et $p_{13}\approx 302,7$
donc il faut $n\geq 13$
La production dépassera 30 000 ordinateurs à partir de l'année $2013+13=2026$.