Raisonnement par récurrence
On considère une propriété notée $P_n$ avec $n \in \mathbb{N}$.
- $P_0$ vraie<
- Si $P_n$ est vraie alors $P_{n+1}$ est vraie.
- On a alors $P_n$ vraie pour tout entier naturel $n$.

On peut noter $P_n$ la propriété $u_n=(1+n)^2$ et montrer que $u_{n+1}=(1+n+1)^2=(n+2)^2$

On peut noter $P_n$ la propriété $u_n=(1+n)^2$
-Initialisation
Pour $n=0$, on a $u_1=u_0+2\times 0+3=1+3=4$
et $(1+1)^2=4$
donc la propriété $P_0$ est vraie.
- Hérédité
On suppose qu'il existe un entier naturel $n>0$ tel que $P_n$ soit vraie.
On a alors $u_n=(1+n)^2$
On veut montrer que $P_{n+1}$ est vraie soit $u_{n+1}=(1+n+1)^2=(n+2)^2$
$u_{n+1}=u_n+2n+3$
$\phantom{u_{n+1}}=(1+n)^2+2n+3$
$\phantom{u_{n+1}}=1+2n+n^2+2n+3$
$\phantom{u_{n+1}}=4n+n^2+4$
$\phantom{u_{n+1}}=(n+2)^2$
On a donc montré que $P_0$ est vraie et que si $P_n$ est vraie alors $P_{n+1}$ est vraie
donc pour tout entier naturel $n$, on a $u_n=(1+n)^2$