Home TERMINALE SPÉCIALITÉ MATHS Chapitre 2 limites de fonctions et asymptotes Séquence 1 limite en l'infini et en un point

Démontrer une limite avec les définitions (réf 0978)

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Conjecturer une limite

Démontrer une limite en l’infini et en un point avec les définitions

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Vidéo de l’exercice

On considère la fonction $f$ définie sur $]0;+\infty[$ par $f(x)=\dfrac{1}{x^2}$.

Conjecturer (donner sans justifier) $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0^+}f(x)$

Aide

On veut savoir ce qui se passe pour $f(x)$ quand $x \longrightarrow 0^+$

Solution

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Rappel cours

Limite infinie quand $x \longrightarrow a$
$f$ est définie sur un intervalle $I$ contenant $a$.
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow a}f(x)=+\infty$ si pour tout réel $A>0$, il existe un réel $\epsilon>0$ avec $]a-\epsilon;a+\epsilon[\subset I$ tel que $f(x)>A$ pour tout $x\in ]a-\epsilon;a+\epsilon[$.
La droite d'équation $x=a$ est asymptote à a courbe.

Aide

On veut montrer que pour tout $A >0$, il existe un réel $X_0$ tel que pour tout $0 < x < X_0$ on ait $f(x) > A$
Autrement dit, on veut savoir s'il est possible de rendre $f(x)$ aussi grand que l'on veut quand $x$ est "proche" de zéro.

Solution

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Conjecturer (donner sans justifier) $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}f(x)$

Aide

Quand $x\longrightarrow +\infty$ alors le dénominateur est très grand.
On veut savoir ce qui se passe pour $f(x)$ quand $x \longrightarrow +\infty$

Solution

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Rappel cours

limite $l$ en $+\infty$ et interprétation graphique
La fonction $f$ est définie sur un intervalle $[a;+\infty[$ et $\ell \in \mathbb{R}$.
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}f(x)=\ell$ si pour tout intervalle ouvert I contenant $\ell$, il existe $x_0$ tel que pour tout $x>x_0$ on a $f(x)\in $ I

La droite d'équation $y=\ell$ est asymptote à la courbe en $+\infty$

Aide

On veut montrer que pour tout $\varepsilon >0$, il existe un réel $X_0$ tel que pour tout $x> X_0$ on ait $-\varepsilon < f(x) < \varepsilon $
Autrement dit, on veut savoir s'il est possible de rendre $f(x)$ aussi "proche" de 0 que l'on veut quand $x$ devient très grand.

Solution

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