Envoyez votre messageInfos
Vous devez être inscrit pour accéder à ces informations.
Ceci vous permet de visualiser les ressources déjà vues et marquer à revoir celles qui nécessitent d'être retravaillées.
Contenu
Étude d’une fonction avec ln(x)
Étude d’une suite définie par récurrence avec ln
Ressources associées et exercices semblables
Lectures graphiques et étude d’une fonction composée avec ln (ex BAC) (réf 1126)
exercice
Étude de fonction composée avec ln et lectures graphiques (réf 1128)
exercice
Devoir complet fin de chapitre trois ex BAC 2023 (réf 1131)
devoir
Vidéo de l’exercice
On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]1;+ \infty[$ par $f(x) = \dfrac{x}{ln x}$.
Sur l'annexe jointe, on a tracé dans un repère orthogonal la courbe $\mathcal{C}$ représentative de la fonction $f$ ainsi que la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y = x$.
- Calculer les limites de la fonction $f$ en $+ \infty$ et en $1$.
Rappel cours
Croissances comparées
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}\dfrac{ln(x)}{x}=0$
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0^+}xln(x)=0$Aide
$\dfrac{x}{ln x}$ est l'inverse de $\dfrac{ln x}{x}$
$ln(1)=0$Solution
Vous devez être inscrit pour accéder à ce contenu gratuitement!
INSCRIPTION - Étudier les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $]1;+ \infty[$.
Rappel cours
Dérivée de la fonction ln
La fonction $ln$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ et $(ln(x))'=\dfrac{1}{x}$ Formules de dérivation (produit, quotient...)
Aide
On pose $u(x)=x$ et $v(x)=ln(x)$ et on a $f(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)}$
Solution
Vous devez être inscrit pour accéder à ce contenu gratuitement!
INSCRIPTION - En déduire que si $x \geqslant e$ alors $f(x) \geqslant e$.
Aide
$f$ est continue et strictement croissante sur $[e;+\infty[$
Calculer $f(e)$Solution
Vous devez être inscrit pour accéder à ce contenu gratuitement!
INSCRIPTION
Partie B : étude d'une suite récurrente
On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par $u_{0}=5$ et pour tout entier naturel $ n$, $u_{n+1}=f\left(u_{n}\right)$.
- Sur l'annexe jointe, à rendre avec la copie, en utilisant la courbe $\mathcal{C}$ et la droite $\mathcal{D}$, placer les points $A_{0}$, $A_{1}$ et $A_{2}$ d'ordonnée nulle et d'abscisses respectives $u_{0}$, $u_{1}$ et $u_{2}$. On laissera apparents les traits de construction.
Quelles conjectures peut-on faire sur les variations et la convergence de la suite $\left(u_{n}\right)$ ?Aide
On a $u_1$ image de $u_0$ par $f$.
Solution
Vous devez être inscrit pour accéder à ce contenu gratuitement!
INSCRIPTION -
- Montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n} \geqslant e$.
Rappel cours
Raisonnement par récurrence
On note $P_n$ une propriété définie pour tout entier naturel $n$.
Initialisation:
$P_0$ est vraie
Hérédité:
Si $P_n$ est vraie alors$P_{n+1}$ est vraie.
on a alors $P_n$ vraie pour tout entier naturel $n$.Aide
Si $x \geq e$ on a $f(x) \geq e$
Il faut utiliser un raisonnement par récurrence en vérifiant d'abord que la propriété est vraie pour $n=0$.Solution
Vous devez être inscrit pour accéder à ce contenu gratuitement!
INSCRIPTION - Déterminer les variations de la suite $\left(u_{n}\right)$.
Rappel cours
Étude des variations(différence de deux termes consécutifs)
Pour étudier les variations de $(u_n)$, il faut comparer $u_{n+1}$ et $u_n$.
Exprimer $u_{n+1}-u_n$ en fonction de $n$
Étudier le signe de l'expression obtenue
Si $u_{n+1}-u_n >0 $ alors$u_{n+1} >u_n$ et donc la suite $(u_n)$ est croissante.
Si $u_{n+1}-u_n <0 $ alors$u_{n+1} < u_n$ et donc la suite $(u_n)$ est décroissante.Aide
On peut étudier le signe de $u_{n+1}-u_n$
Solution
Vous devez être inscrit pour accéder à ce contenu gratuitement!
INSCRIPTION - En déduire que la suite $\left(u_{n}\right)$ est convergente.
Rappel cours
Limite d'une suite majorée ou minorée
Si la suite $(u_n)$ est croissante et majorée alors elle est convergente.
Si la suite $(u_n)$ est décroissante et minorée alors elle est convergenteAide
La suite est décroissante et $u_n\geq e$
Solution
Vous devez être inscrit pour accéder à ce contenu gratuitement!
INSCRIPTION - Déterminer sa limite $\ell$.
Aide
Si $(u_n)$ converge vers $\ell$ alors on a $\ell$ solution de l'équation $f(x)=x$
Solution
Vous devez être inscrit pour accéder à ce contenu gratuitement!
INSCRIPTION
- Montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n} \geqslant e$.