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Recherche d’un ensemble de points tels que $\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{AB}=12$
Ressources associées et exercices semblables
Ensemble de points et théorème de la médiane (réf 0785)
exercice
Vidéo de l’exercice
Déterminer l'ensemble des points $M$ du plan tels que $\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{AB}=12$.
- Méthode géométrique
$H$ est le projeté orthogonal de $M$ sur $(AB)$, déterminer la distance $AH$.
En déduire l'ensemble des points $M$ tels que $\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{AB}=12$.Rappel cours
Produit scalaire et projeté orthogonal
Soit $A$, $B$ et $C$ trois points ($A$ et $B$ distincts) et $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{AC}$.
Si $H$ est le projeté orthogonal de $C$ sur $(AB)$:
$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=AB\times AH$ si $\widehat{BAH}=0$ (soit $\widehat{BAC}$ aigu)
et $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=-AB\times AH$ si $\widehat{BAH}=\pi$ (soit $\widehat{BAC}$ obtus)Solution
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INSCRIPTION - Avec un repère:
Dans le repère orthonormé d'unité 1cm, d'origine $A$, d'axe des abscisses $(AB)$ et d'axe des ordonnée la droite perpendiculaire à $(AB)$ passant par $A$, donner les coordonnées des points $A$ et $B$ puis des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AM}$ si on pose $M(x;y)$.
En déduire l'ensemble des points $M$ tels que $\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{AB}=12$.Rappel cours
Coordonnées d'un vecteur
Si $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$ dans un repère $(O;\overrightarrow{i};\overrightarrow{j})$ alors $\overrightarrow{u}=x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}$
Sur la figure ci-dessus $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}4\\2\end{pmatrix}$ Produit scalaire dans un repère orthonormé
Dans un repère orthonormé, si $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{v}\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}$ on a:
$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=xx'+yy'$
Solution
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