Envoyez votre messageInfos
Vous devez être inscrit pour accéder à ces informations.
Ceci vous permet de visualiser les ressources déjà vues et marquer à revoir celles qui nécessitent d'être retravaillées.
Contenu
Suite de complexes
Forme exponentielle
Module d’un complexe et suite des modules
Affixe d’un point
Ressources associées et exercices semblables
Suites de complexes (ancien BAC S) (réf 1463)
exercice
Suites de complexes (ancien BAC S) (réf 1464)
exercice
Suite de complexes, suite de points dans un repère (réf 1467)
exercice
Vidéo de l’exercice
On note $z_n$ l'affixe de $A_n$.
-
- Déterminer forme exponentielle de $1+i\dfrac{\sqrt{3}}{3}$.
Rappel cours
Module d'un complexe
Soit $M$ d'affixe $z$.
Le module de $z=x+iy$ ($x$ et $y$ réels) noté $|z|$ est $|z|=OM=\sqrt{x^2+y^2}$. Argument d'un complexe
Soit $M$ d'affixe $z$.
Si $z\neq 0$ l'argument de $z$ noté $arg(z)$ est une mesure en radians de l'angle $(\overrightarrow{i};\overrightarrow{OM})$}Solution
Vous devez être abonné pour accéder à ce contenu...
Infos abonnements - En déduire la forme exponentielle de $z_1$ et $z_2$
Aide
utiliser le résultat de la question 1
Solution
Vous devez être abonné pour accéder à ce contenu...
Infos abonnements
- Déterminer forme exponentielle de $1+i\dfrac{\sqrt{3}}{3}$.
- Montrer que pour tout entier naturel $z_n=\left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)^ne^{i\dfrac{n\pi}{6}}$
Rappel cours
Raisonnement par récurrence
On note $P_n$ une propriété définie pour tout entier naturel $n$.
Initialisation:
$P_0$ est vraie
Hérédité:
Si $P_n$ est vraie alors$P_{n+1}$ est vraie.
on a alors $P_n$ vraie pour tout entier naturel $n$.Aide
On a $z_{n+1}=\left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}e^{i\dfrac{\pi}{6}}\right)z_n $
Solution
Vous devez être abonné pour accéder à ce contenu...
Infos abonnements - Pour quelles valeurs de $n>0$ a-t-on $O$, $A_0$ et $A_n$ alignés?
Rappel cours
Angles et argument d'un quotient
Soient $A$ , $B$ et $C$ quatre points distincts d'affixes respectives $z_A$, $z_B$ et $z_C$.
$(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=arg\left(\dfrac{z_C-z_A}{z_B-z_A}\right)$Aide
Il faut que l'angle entre les vecteuirs $\overrightarrow{OA_n}$ et $\overrightarrow{OA_0}$ soit $0+k2\pi$ ou bien $\pi+k2\pi$
c'est à dire finalement $0+k\pi$ avec $k\in \mathbb{Z}$Solution
Vous devez être abonné pour accéder à ce contenu...
Infos abonnements - Pour tout entier naturel $n$ on pose $d_n=|z_{n+1}-z_n|$
- Interpréter géométriquement $d_n$
Rappel cours
Distances et modules
Soient $A$ et $B$ d'affixes respectives $z_A$ et $z_B$.
$AB=|z_B-z_A|$Aide
L'affixe de $A_{n+1}$ est $z_{n+1}$ et l'affixe de $A_n$ est $z_n$
Solution
Vous devez être abonné pour accéder à ce contenu...
Infos abonnements - Calculer $d_0$
Solution
Vous devez être abonné pour accéder à ce contenu...
Infos abonnements - Montrer que pour tout entier $n$ on a $z_{n+2}-z_{n+1}=\left(1+i\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right)(z_{n+1}-z_n)$
Aide
On a $z_{n+1}=\left(1+i\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right)z_n$ et $z_{n+2}=\left(1+i\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right)z_{n+1}$
Solution
Vous devez être abonné pour accéder à ce contenu...
Infos abonnements - Montrer que la suite $(d_n)$ est géométrique et exprimer $d_n$ en fonction de $n$.
Rappel cours
Suite géométrique
Une suite $(u_n)$ est géométrique s'il existe un réel $q$ tel que pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=u_n\times q$
$q$ est la raison de la suite.
Le quotient de deux termes consécutifs est égal à la raison soit $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=q$ Forme explicite d'une suite géométrique
Si $(u_n)$ est géométrique de raison $q$ est premier terme $u_0$, on a:
$u_n=u_0\times q^n$
et pour tous entiers $n$ et $p$, $u_n=u_p\times q^{n-p}$Aide
On a $d_{n+1}=\left|z_{n+2}-z_{n+1}\right|$
Solution
Vous devez être abonné pour accéder à ce contenu...
Infos abonnements
- Interpréter géométriquement $d_n$
- Montrer que pour tout entier naturel $n$ on a $|z_{n+1}|^2=|z_n|^2+d_n^2$ et en déduire la nature du triangle $OA_nA_{n+1}$.
Solution
Vous devez être abonné pour accéder à ce contenu...
Infos abonnements - Explique comment construire le point $A_5$ uniquement à la règle (non graduée), à l'équerre et au compas.
Solution
Vous devez être abonné pour accéder à ce contenu...
Infos abonnements