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Contenu
Équation du second degré dans C
Forme algébrique d’un complexe
équation d’un cercle
Ressources associées et exercices semblables
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Suites de complexes (ancien BAC S) (réf 1464)
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Complexes et suite de points (réf 1466)
exercice
Suite de complexes, suite de points dans un repère (réf 1467)
exercice
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé $(O;\overrightarrow{i};\overrightarrow{j})$. On prendra comme unité 2~cm sur chaque axe.
Le graphique sera fait sur une feuille de papier millimétré et complété au fur et à mesure des questions.
On considère la fonction $f$ qui à tout nombre complexe $z$ associe $f(z) = z^2 + 2z + 9$.
- Calculer l'image de $- 1 + i\sqrt{3}$ par la fonction $f$.
Aide
$(-1+i\sqrt{3})^2=(-1)^2+2\times (-1)\times i\sqrt{3}+(i\sqrt{3})^2$
Solution
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INSCRIPTION - Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $f(z) = 5$.
Écrire sous forme exponentielle les solutions de cette équation.
Construire alors dans un repère orthonormé d'unité 2cm, à la règle et au compas, les points A et B dont l'affixe est solution de l'équation (A étant le point dont l'affixe a une partie imaginaire positive).
On laissera les traits de construction apparents.Rappel cours
Équations du second degré à coefficients réels
équation du second degré à coefficients réels
Discriminant: $\Delta=b^2-4ac$
- Si $\Delta \geq 0$, on résout dans $\mathbb{R}$
Si $\Delta >0 $ il y a 2 racines $z_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $z_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$
Si $\Delta <0$ alors on a deux racines complexes conjuguées:
$z_1=\dfrac{-b-i\sqrt{|\Delta|}}{2a}$ et $z_2=\dfrac{-b+i\sqrt{|\Delta|}}{2a}=\overline{z_1}$
Forme trigonométrique
Soit $z=x+iY$ un complexe.
Le module de $z$ noté $|z|$ est $|z|=OM=\sqrt{x^2+y^2}$.
Si $z\neq 0$ l'argument de $z$ noté $arg(z)$ est une mesure en radians de l'angle $(\overrightarrow{i};\overrightarrow{OM})$}
On a alors $x=|z|cos(arg(z))$ et $y=|z|sin(arg(z))$ soit $z=|z|(cos(arg(z)+isin(arg(z))$
Cette forme est appelée forme trigonométrique} de $z$.Aide
$f(z)=5 \Longleftrightarrow z^2 + 2z + 9=5 \Longleftrightarrow z^2 + 2z + 4=0$
Solution
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INSCRIPTION - Soit $\lambda$ un nombre réel. On considère l'équation $f(z) = \lambda$ d'inconnue $z$.
Déterminer l'ensemble des valeurs de $\lambda$ pour lesquelles l'équation $f(z) = \lambda$ admet deux solutions complexes conjuguées.Aide
L'équation admet deux racines complexes conjuguées si $\Delta <0$
Solution
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INSCRIPTION - Soit (F) l'ensemble des points du plan complexe dont l'affixe $z$ vérifie $|f(z) - 8| = 3$.
Prouver que (F) est le cercle de centre $\Omega(-1~;~0)$ et de rayon $\sqrt{3}$.
Tracer (F) sur le graphique.Aide
$f(z)-8=(z+1)^2$ et $\left|(z+1)^2\right|=|z+1|^2$
Solution
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INSCRIPTION - Soit $z$ un nombre complexe, tel que $z = x + iy$ où $x$ et $y$ sont des nombres réels.
- Montrer que la forme algébrique de $f(z)$ est $x^2 - y^2 + 2x + 9 +i(2xy + 2y)$.
Aide
$(x+iy)^2=x^2+2ixy+(iy)^2$
Solution
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INSCRIPTION - On note (E) l'ensemble des points du plan complexe dont l'affixe $z$ est telle que $f(z)$ soit un nombre réel.
Montrer que (E) est la réunion de deux droites $D_{1}$ et $D_{2}$ dont on précisera les équations.
Compléter le graphique en traçant ces droites.Aide
$f(z)$ est réel si et seulement si sa partie imaginaire est nulle
Solution
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INSCRIPTION
- Montrer que la forme algébrique de $f(z)$ est $x^2 - y^2 + 2x + 9 +i(2xy + 2y)$.
- Déterminer les coordonnées des points d'intersection des ensembles (E) et (F).
Aide
On cherche les points d'intersection des droites $D_1$ et $D_2$ et du cercle (F) de centre $\Omega(-1~;~0)$ et de rayon $\sqrt{3}$
Solution
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