Devoir fin de chapitre congruences (réf 1507) chapitre 2 division euclidienne et congruences, Option maths expertes, séquence 3 exercices de synthèse et devoirs d'entraînement

Montrer que si $n$ est pair alors $n^3+2n+1$ est impair.

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Un entier pair peut s'écrire sous la forme $n=2k$ avec $k$ entier naturel

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On suppose $n$ impair.
1. Justifier que $n\equiv 1$ $(2)$
  
  Rappel cours
  
  Congruence de a-b
  $a$ et $b$ sont deux entiers relatifs.
  $a\equiv b$ $(n)\Longleftrightarrow a-b\equiv 0$ $(n)$
  donc $a\equiv b$ $(n)$ si et seulement si $a-b$est divisible par $n$
  
  Aide
  
  On a $n=2k+1$
  
  Solution
  
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2. En déduire les congruences de $n^3$ et $2n$ modulo 2 puis que $N$ est pair.
  
  Rappel cours
  
  Addition, multiplication et exposant
  $n$ est un entier naturel superieur ou égal à 2 et $a$, $b$, $c$ et $d$ quatre entiers relatifs tels que $a\equiv b$ $(n)$ et $c\equiv d$ $(n)$
  - addition: $a+c\equiv c+d$ $(n)$
  - multiplication $ac\equiv bd$ $(n)$
  - exposant: $a^k \equiv b^k$ $(n)$
  
  Solution
  
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Exercice 2 (5 points)

Montrer que $3^4\equiv 1$ $(20)$.

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Donner le quotient et le reste de la division euclidienne de $37$ par $4$.
En déduire le reste de la division euclidienne de $3^{37}-1$ par $20$

Rappel cours

Addition, multiplication et exposant
$n$ est un entier naturel superieur ou égal à 2 et $a$, $b$, $c$ et $d$ quatre entiers relatifs tels que $a\equiv b$ $(n)$ et $c\equiv d$ $(n)$
- addition: $a+c\equiv c+d$ $(n)$
- multiplication $ac\equiv bd$ $(n)$
- exposant: $a^k \equiv b^k$ $(n)$

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$3^4\equiv 1$ ($20$) et on a $37=4\times 9+1$

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Exercice 3 (6 points)

On considère l'équation $E$: $7x^2+4y^2=5$ dans $\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}$.

Montrer que $7\equiv 2$ $(5)$ et que $4\equiv -1$ $(5)$

Rappel cours

Congruence de a-b
$a$ et $b$ sont deux entiers relatifs.
$a\equiv b$ $(n)\Longleftrightarrow a-b\equiv 0$ $(n)$
donc $a\equiv b$ $(n)$ si et seulement si $a-b$est divisible par $n$

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En déduire $7x^2+4y^2\equiv 2x^2-y^2$ $(5)$ puis que $2x^2\equiv y^2$ $(5)$

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Sans justifier, compléter les tableaux ci-dessous:

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On a $2x^2\equiv y^2$ $(5)$.
En déduire que $x^2$et $y^2$ sont des multiples de $5$.

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Montrer alors que $7x^2+4y^2=25(7k^2+4k^2)$ avec $k\in \mathbb{Z}$
et en déduire que l'équation $E$ n'admet aucune solution dans $\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}$

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On peut écrire $x=5k$ et $y=5k'$

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Exercice 4 (5 points)

Compléter $2^0\equiv ....$ $(5)~~~~~~2^1\equiv ....$
$(5)~~~~~~2^2\equiv ....$ $(5)$
$2^3\equiv ....$ $(5)~~~~~~2^4\equiv ....$ $(5)$

Rappel cours

Intersection et réunion de deux intervalles
$I$ et $J$ sont deux intervalles de $\mathbb{R}$
$I\cap J$ est l'intersection des intervalles $I$ et $J$, c'est à dire l'ensemble des réels qui appartiennent à la fois à $I$ et à $J$
$I\cup J$ est la réunion des intervalles $I$ et $J$, c'est à dire l'ensemble des réels qui appartiennent à $I$ou bien à $J$
Exemple: $I=[-1;4]$ et $J=]-5;2[$
alors $I\cap J=[-1;2[$
et $I\cup J=]-5;4]$
Remarque: On peut représenter ces deux intervalles sur un axe gradué pour déterminer leur réunion et leur intersection.

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On peut chercher les restes de $2^0$, $2^1$...dans lña division euclidienne par $5$

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On pose $n=4q+r$ où $q$ et $r$ sont le quotient et reste de la division euclidienne de $n$ par $4$
Montrer que $2^n\equiv 2^r$ $(5)$

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$2^n=2^{4q+r}= (2^4)^q\times 2^r$

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Compléter alors le tableau:

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En déduire les entiers naturels $n$ tels que $2^n-1$ soit divisible par $5$

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$2^n-1$ divisible par $5$ donc $2^n-1\equiv 0$ ($5$) donc $2^n\equiv 1$ ($5$) puis utiliser le tableau de la question 1

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