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Factorisation d’un polynôme de degré 3

Équation du second degré dans C

Exercice | temps recommandé inférieur à 5mn | Niveau 2 difficulté moyenne | séquence 2 du chapitre |
On pose $P(z)=z^3-(1+2i)z^2+(1+2i)z-2i$ avec $z\in \mathbb{C}$.
  1. Calculer $P(2i)$
    Aide

    On remplace $z$ par $2i$ dans $P(z)$.
    $(2i)^3=2^3i^3=8i^2\times i=-8i$

    Solution

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  2. En déduire une factorisation de $P(z)$ sous forme d'un produit d'un facteur du premier degré et d'un facteur du second degré.
    Aide

    On a $P(2i)=0$ donc $P(z)$ peut s'écrire sous la forme $P(z)=(z-2i)(az^2+bz+c)$
    On peut développer $(z-2i)(az^2+bz+c)$ puis identifier les coefficients de $P(z)$ pour obtenir trois équations d'inconnues $a$, $b$ et $c$.

    Solution

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  3. En déduire les solutions de $P(z)=0$.
    Rappel cours

    include282fcours

    Aide

    Un produit de facteurs est nul si l'un des facteurs est nul
    Il faut résoudre $z^2-z+1=0$

    Solution

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