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Contenu
Polynôme de degré 3 avec des coefficients complexes
Factorisation d’un polynôme de degré 3
Équation de degré 3 dans C
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Factorisation d’un polynôme de degré 3 et équation de degre 3 (réf 1430)
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Factorisation et équation avec du degré 3 (réf 1435)
exercice
- Calculer $P(-1-i)$
Aide
On peut écrire $(-1-i)^3=(-1-i)^2(-1-i)$ pour développer $z^3$.
Solution
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Infos abonnements - On peut donc factoriser $P(z)$ par $z-(-1-i)=z+1+i$.
Déterminer $a$, $b$ et $c$ tels que $P(z)=(z+1+i)(az^2+bz+c)$ pour tout complexe $z$.Aide
Il faut développer l'expression $(z+1+i)(az^2+bz+c)$ et identifier les coefficients de $z^3$, de $z^2$, $z$ et la constante.
Solution
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Infos abonnements - En déduire les solutions de $P(z)=0$.
Rappel cours
Équations du second degré à coefficients réels
équation du second degré à coefficients réels
Discriminant: $\Delta=b^2-4ac$
- Si $\Delta \geq 0$, on résout dans $\mathbb{R}$
Si $\Delta >0 $ il y a 2 racines $z_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $z_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$
Si $\Delta <0$ alors on a deux racines complexes conjuguées:
$z_1=\dfrac{-b-i\sqrt{|\Delta|}}{2a}$ et $z_2=\dfrac{-b+i\sqrt{|\Delta|}}{2a}=\overline{z_1}$
Aide
Il faut utiliser la forme factorisée de $P(z)$ obtenue à la question 2 et un produit de facteurs nul.
Solution
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