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Nature d’un quadrilatère défini par les affixes des sommets (réf 1452)

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On donne les points $A$, $B$, $C$ et $D$ d'affixe respective $z_A=3+i$, $z_B=1+4i$, $z_C=4+6i$ et $z_D=6+3i$ dans un repère orthonormé $(O;\overrightarrow{i};\overrightarrow{j})$.

Calculer l'affixe des vecteurs $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{DC}$ et $\overrightarrow{AD}$.

Rappel cours

Affixe d'un point et d'un vecteur
Le complexe $z=x+iy$ ($x$ et $y$ réels) est l'affixe du point $M(x;y)$. %l Avec $\overrightarrow{u}(a;b)$, le complexe $u=a+ib$ est l'affixe du vecteur $\overrightarrow{u}$.

Solution

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Calculer $AB$ et $AD$

Rappel cours

Forme trigonométrique
Soit $z=x+iY$ un complexe.
Le module de $z$ noté $|z|$ est $|z|=OM=\sqrt{x^2+y^2}$.
Si $z\neq 0$ l'argument de $z$ noté $arg(z)$ est une mesure en radians de l'angle $(\overrightarrow{i};\overrightarrow{OM})$}
On a alors $x=|z|cos(arg(z))$ et $y=|z|sin(arg(z))$ soit $z=|z|(cos(arg(z)+isin(arg(z))$
Cette forme est appelée forme trigonométrique} de $z$.

Aide

Il faut calculer $|z_B-z_A|$ et $|z_D-z_A|$.

Solution

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Donner la forme algébrique puis trigonométrique de $\dfrac{z_D-z_A}{z_B-z_A}$.

Rappel cours

Équation réduite de deux droites parallèles
Dans un repère du plan, deux droites (non parallèles à l'axe des ordonnées) sont parallèles si et seulement si elles ont le même coefficient directeur

Aide

Il faut multiplier le numérateur et le dénominateur par le conjugé du dénominateur

Solution

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En déduire la nature du quadrilatère $ABCD$.

Rappel cours

Angles et argument d'un quotient
Soient $A$ , $B$ et $C$ quatre points distincts d'affixes respectives $z_A$, $z_B$ et $z_C$.
$(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=arg\left(\dfrac{z_C-z_A}{z_B-z_A}\right)$

Aide

On a $z_B-z_A=z_D-z_A$ et $|z_B-z_A|=|z_D-z_A|$ puis l'argument de $-i$

Solution

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