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Contenu
Suite géométrique de complexe
Utilisation de la forme exponentielle
Limite d’une suite
Ressources associées et exercices semblables
Les parties A et B peuvent être traitées de façon indépendante.
Partie A
Pour tout entier naturel $n$, on pose $u_n = \left|z_{n}\right|$.
- Calculer $u_0$.
Rappel cours
Forme trigonométrique
Soit $z=x+iY$ un complexe.
Le module de $z$ noté $|z|$ est $|z|=OM=\sqrt{x^2+y^2}$.
Si $z\neq 0$ l'argument de $z$ noté $arg(z)$ est une mesure en radians de l'angle $(\overrightarrow{i};\overrightarrow{OM})$}
On a alors $x=|z|cos(arg(z))$ et $y=|z|sin(arg(z))$ soit $z=|z|(cos(arg(z)+isin(arg(z))$
Cette forme est appelée forme trigonométrique} de $z$.Solution
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Infos abonnements - Démontrer que $\left(u_n\right)$ est la suite géométrique de raison $\sqrt{2}$.
Rappel cours
Suite géométrique
Une suite $(u_n)$ est géométrique s'il existe un réel $q$ tel que pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=u_n\times q$
$q$ est la raison de la suite.
Le quotient de deux termes consécutifs est égal à la raison soit $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=q$Aide
On veut montrer que $u_{n+1}=qu_n$
$u_{n+1}= |z_{n+1}| = |(1+i)z_n|=|1+i||z_n|$Solution
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Infos abonnements - Pour tout entier naturel $n$, exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
Rappel cours
Forme explicite d'une suite géométrique
Si $(u_n)$ est géométrique de raison $q$ est premier terme $u_0$, on a:
$u_n=u_0\times q^n$
et pour tous entiers $n$ et $p$, $u_n=u_p\times q^{n-p}$Solution
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Infos abonnements - Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
Rappel cours
Limite de $q^n$ (suite géométrique)
Si $q > 1 $ alors $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty}q^n=+\infty$
Si $-1 < q < 1 $ alors $\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty}q^n=0$Aide
La raison est ici $\sqrt{2}>1$ et $u_0>0$
Solution
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Infos abonnements - Étant donné un réel positif $p$, on souhaite déterminer, à l'aide d'un algorithme, la plus petite valeur de l'entier naturel $n$ telle que $u_n > p$.
Recopier l'algorithme ci-dessous et le compléter par les instructions de traitement et de sortie, de façon à afficher la valeur cherchée de l'entier $n$.
Aide
On veut à chaque passage dans la boucle TANT QUE calculerle terme suivant pour la suite et augmenter l'indice de 1
Solution
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Partie B
- Déterminer la forme algébrique de $z_1$.
Solution
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Infos abonnements - Déterminer la forme exponentielle de $z_0$ et de $1+i$.
En déduire la forme exponentielle de $z_1$.Rappel cours
Forme trigonométrique
Soit $z=x+iY$ un complexe.
Le module de $z$ noté $|z|$ est $|z|=OM=\sqrt{x^2+y^2}$.
Si $z\neq 0$ l'argument de $z$ noté $arg(z)$ est une mesure en radians de l'angle $(\overrightarrow{i};\overrightarrow{OM})$}
On a alors $x=|z|cos(arg(z))$ et $y=|z|sin(arg(z))$ soit $z=|z|(cos(arg(z)+isin(arg(z))$
Cette forme est appelée forme trigonométrique} de $z$. Forme exponentielle
$z$ est un complexe d'argument $\alpha$
La forme exponentielle de $z$ est $z=|z|e^{i\alpha}$Aide
Il faut calculer $|z_0|$ et $|1+i|$
On utilise ensuite $e^{i\alpha}e^{i\theta}=e^{i(\alpha+\theta)}$Solution
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Infos abonnements - Déduire des questions précédentes la valeur exacte de $\cos\left(\dfrac{\pi}{12}\right)$
Aide
Deux complexes sont égaux si leurs parties réelles et imaginaires sont égales
Il faut donc utiliser les deux formes d'écriture de $z_1$: algébrique et trigonométriqueSolution
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