Calculer $\overrightarrow{EG}.\overrightarrow{FD}$.

Rappel cours

relation de Chasles
$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$ Orthogonalité et produit scalaire
Pour tous vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$, on a:
$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=0 \Longleftrightarrow \overrightarrow{u}=\overrightarrow{0}$ ou $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{0}$ ou $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont orthogonaux.

Aide

$\overrightarrow{FD}=\overrightarrow{FH}+\overrightarrow{HD}$ et $\overrightarrow{EG}=\overrightarrow{EF}+\overrightarrow{FG}$

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Calculer $\overrightarrow{EB}.\overrightarrow{FD}$.

Aide

$\overrightarrow{EB}=\overrightarrow{EF}+\overrightarrow{FD}$

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En déduire que le plan $(EBG)$ est perpendiculaire à la droite $(FD)$.

Rappel cours

droite et plan orthogonaux
Une droite $(d)$ est orthogonale à un plan si et seulement si un vecteur directeur de $(d)$ est orthogonal à deux vecteurs directeurs de du plan.

Aide

Il faut justifier que $(FD)$ est orthogonale à deux droites sécantes du plan $(EBG)$

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Partie 2: En utilisant un repère orthonormé
On considère le repère orthonormé $(A;\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AD};\overrightarrow{AE})$.
Retrouver les résultats des questions 1 et 2 de la partie A et conclure.

Rappel cours

Produit scalaire dans un repère orthonormé de l'espace
Dans un repère orthonormé de l'espace, on a les vecteurs $\overrightarrow{u}\begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{v}\begin{pmatrix} x'\\ y'\\ z' \end{pmatrix}$.
$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=xx'+yy'+zz'$

Solution

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